论文标题：Spontaneous Recovery in Directed Dynamical Networks

期刊：Engineering

DOI：https://doi.org/10.1016/j.eng.2023.12.007

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在复杂网络系统的研究领域，一项新的研究正引发关注。华中科技大学人工智能与自动化学院刘雪明教授以文章第一作者兼通讯作者在中国工程院院刊《Engineering》发表了题为“Spontaneous Recovery in Directed Dynamical Networks”（有向动态网络的自发恢复）的研究，创新性开发有向动态网络恢复分析框架，揭开有向动态网络自发恢复的神秘面纱。有助于阐明系统恢复机制，并能更好地指导设计具有高韧性的网络系统。闫贤为文章共同第一作者。

复杂网络系统涵盖了从自然界的生物系统到人工制造的基础设施系统的各个领域，当网络中的节点或边发生故障时，现实世界中的许多系统可能会表现出自发恢复。例如，大脑在癫痫发作后可能会自发恢复正常，交通流量在堵塞后也可以再次变得顺畅，这可以看作是系统韧性的重要表现。以往关于动态网络自发恢复的研究主要集中在无向网络上，而现实世界中的许多网络都是有向的。

为此，研究团队建立了一个模型，其中节点可以交替发生故障和恢复。此外，研究团队还开发了一套理论工具来分析有向动态网络的自发恢复，并证明了该工具对网络中最终活跃节点比例的预测能力。

图1 网络故障、传播和恢复的过程。（a）在有向网络中，一些随机节点发生内部故障。（b）更多的节点以概率r失效，因为活跃传入邻居节点的数量低于阈值m_f × k_in，其中 m_f = 0.5，r = 1，k_in为入度。（c）故障继续蔓延，更多的节点发生内部故障。同时，在（a）中内部发生故障的节点将恢复。（d）节点状态继续改变，在（b）中发生外部故障的节点恢复。实线表示边的起始节点处于活动状态或新出现故障，虚线表示边的起始节点在前面的步骤中失效。

研究发现，该工具能够准确预测最终活跃节点的比例，预测精度随着网络中双向边比例的增加而降低，这凸显了方向性在网络动力学中的重要性。此外，研究团队发现有向动力网络在相同的控制参数下可能表现出交替的稳定状态和滞后行为。

此项研究对于理解系统恢复机制以及设计各类高韧性网络系统（如交通、通信和生物系统）具有重要贡献。例如，增加网络中双向边的比例来增强其抗故障能力。此外，在有向动态网络中观察到的交替稳定状态和滞后现象表明，对使网络从故障中恢复进行干预时可能需要仔细考虑初始状态和控制参数。

图2 具有不同节点数N的网络中的自发恢复。（a）~（c）随着内部失效节点比例p* 的增加，活跃节点的平均比例会降低。在小规模网络中，由于活跃节点和失效节点配置的随机性，活跃节点的平均比例可能表现出振荡行为。（d）随着网络规模的增加，振荡幅度减小。当网络规模足够大时，振荡消失。（e）在小规模网络中，相图分为高活跃区（A区）、低活跃区（B区）和振荡区。随着网络规模的增加，相图中的振荡区域减小，并且在足够大的网络中消失。虚线包围的区域是MFT为无限网络计算的滞后区域。

研究中采用非马尔可夫恢复模型，其中故障节点将在一定时间后恢复（如 τ = 100）。研究团队将其与马尔可夫恢复进行了比较。在马尔可夫恢复中，故障节点在每个模拟步骤中都有固定的恢复概率（如1/τ = 0.01），发现当其他参数相同时，具有马尔可夫恢复的网络比具有非马尔可夫恢复的网络具有更高的活跃状态；此外，发生一阶相变的临界点更多。这表明马尔可夫恢复可以提高网络恢复能力，这是合理的，因为失效节点可以在马尔可夫恢复的每一步恢复，并且该节点的恢复可以触发更多节点恢复。

文章表示，未来的研究方向包括研究不同类型的有向边（如抑制性和兴奋性连边）对网络恢复特性的影响，以及对真实网络的研究。真实网络中的恢复过程可能存在不同的特性，例如滞后状态之间的转换比合成网络的状态转换更平缓。此外，网络可能具有高阶结构，这会显著影响动力学。高阶网络结构如何影响网络恢复的问题值得进一步研究。此外，对理论预测的实验验证可以为真实世界中的有向动力网络恢复机制提供有价值的见解。最终，更好地了解有向动态网络的恢复特性可以为各类高韧性网络系统的设计和管理提供指导。

论文信息：

Xueming Liu, Xian Yan, H. Eugene Stanley. Spontaneous Recovery in Directed Dynamical Networks. Engineering, 2024, 37(6): 224–230

开放获取：

https://doi.org/10.1016/j.eng.2023.12.007

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