库尔特·哥德尔（左）、阿兰·图灵     图片来源：PictorialPress Ltd/Alamy（左）、Photosho（t 右） 

数学和计算机科学的核心逻辑悖论最终证实对真实世界也有影响，从而使一个关于物质的基本问题变得从根本上无法回答。

1931年，在澳大利亚出生的数学家库尔特·哥德尔震惊了整个学术界。当时，他宣布一些数学命题是“不可判定的”，而这意味着证明它们的对或错是不可能的事情。如今，3位研究人员发现，相同的定理使计算一种材料的重要属性——理想原子模型中电子最低能级之间的间隙——变得不可能。

该研究作者之一、英国伦敦大学学院量子信息理论学家Toby Cubitt介绍说，上述成果还引发了一种可能性，即粒子物理学中一个有着100万美元赏金的相关问题同样无法得到解决。

这项发现日前发表于《自然》杂志，140页的更长版本则发表在arXiv预印本服务器上。西班牙巴塞罗那光子科学研究所量子信息理论学家Christian Gogolin表示，该成果“的确令人震惊，对致力于凝聚态理论研究的每个人来说可能都是一个巨大惊喜”。

1936年，英国数学家阿兰·图灵首次将哥德尔的发现同物理世界联系起来。“对于物理和逻辑之间的关系，图灵比哥德尔想得更加清楚。”撰写了哥德尔传记的美国作家Rebecca Goldstein认为。

图灵从算法的角度将哥德尔的成果重新用公式表示出来。这些算法由一台每次能读或写1比特数据的理想化计算机执行。他证实，一些算法无法被此类“图灵机”判定。也就是说，不可能知道这台机器能否在有限的时间里完成计算，也没有通用测试来判断某个特定算法是否不可判定。相同的限制也适用于真实的计算机，因为任何此类设备在数学上和图灵机是对等的。

从上世纪90年代起，理论物理学家便试图在物理现象的理想化模型中体现图灵的研究。不过，加拿大韦仕敦大学理论物理学家Markus Müller表示：“他们得出的不可判定问题无法直接同物理学家感兴趣的具体问题联系起来。”Müller同Gogolin和另一位合作者在2012年发表了一个此类模型。

“我认为，可以恰当地说，我们的模型是对人们会真正试图解决的一个重要物理问题产生的首个不可判定性结果。”Cubitt表示。

Cubitt和合作者关注的是谱隙的计算。谱隙是电子在一种材料中能占据的最低能级和下一个能级之间的间隙，而这决定了某种材料的一些基本属性。例如，在一些材料中，降低温度能让谱隙关闭，从而使这种材料变成超导体。

该团队从一种材料的理论模型——无穷二维原子晶格入手。晶格中原子的量子态可视为一台具体化的图灵机，包含着发现材料谱隙的每个计算步骤的信息。

Cubitt和同事证实，对于一个无穷晶格来说，不可能知道计算是否会终止，因此谱隙是否存在的问题就变得不可判定。

然而，对于有限的大量二维晶格而言，计算总是在有限的时间里终止，从而产生一个明确的答案。因此，第一眼看上去，该结果似乎同真实世界几乎没有关联。真实材料的大小总是有限的，它们的属性能通过实验测量得到或者被计算机模拟出来。

不过，“无穷情况”的不可判定性意味着，即使知道了某个有限大小晶格的谱隙，当材料尺寸增大时——哪怕只是单个额外原子的增加，也会发生急剧的变化，从没有谱隙变成有谱隙，反之亦然。Cubitt表示，由于研究已经证明不可能预测何时或者是否将发生这种情况，因此从实验或模拟中得出普遍的结论非常困难。

他还介绍说，该团队最终想研究粒子物理中一个被称为“杨—米尔斯质量间隙问题”的相关问题。这一问题被新罕布什尔州克雷数学研究所提名为“千禧年大奖难题”之一。该研究所正提供100万美元，寻找能解决该问题的人。

质量间隙问题同对携带弱核力和强核力的粒子拥有质量的观察相关。这也解释了为何弱核力和强核力拥有有限范围，而不是像引力和电磁作用那样以及为何夸克只是作为诸如质子或中子的复合粒子一部分被找到，而不是单独存在。问题在于并未有严谨的数学理论能解释为何核力的载体拥有质量，以及电磁力的载体——质子何时变得没有质量。

Cubitt希望，其团队的方法和想法最终能证实，“杨—米尔斯质量间隙问题”是不可判定的。不过，他认为，如何解决这一难题目前似乎还没有明显的思路。“我们离赢取100万美元还有很长的路要走。”（来源：中国科学报 宗华）