约翰•冯•诺伊曼（John von Neumann）是20世纪数学中另一位重要人物。冯•诺伊曼是一只青蛙，他用自己惊人的技术技能解决了数学和物理学众多分支领域中的问题。从创立数学的基础开始，他发现了集合论的第一个令人满意的公理集，避免了康托（Cantor）在试图解决无穷集和无穷数时遇到的逻辑悖论。几年后，冯•诺伊曼的鸟类朋友库特•哥德尔（Kurt Godel）用他的公理集证明了数学中的不可判定性命题。

 

哥德尔的定理让鸟们对数学有了新看法。哥德尔之后，数学不再是与独特真理概念捆绑在一起的单一结构，而是带有不同公理集和不同真理概念的结构群岛。哥德尔证明数学不可穷尽。无论选择怎样的公理集作为基础，鸟们总能找到这些公理不能回答的问题。

 

冯•诺伊曼从数学基础的奠定迈向了量子力学基础的奠定。为了给量子力学一个坚实的数学基础，他创立了一个宏大的算子环理论（theory of rings of operator）。每个可观察量都可以由一个线性算子来代表，量子行为的特殊性可由算术代数忠实地代表。正如牛顿发明了描述经典力学的微积分，冯•诺伊曼发明了描述量子力学的算子环理论。

 

冯•诺伊曼在几个领域做出了奠基性贡献，特别是从博弈论到数字计算机的设计。在他生命的最后十年里，他深深了陷到计算机里。他对计算机的兴趣如此强烈，以至决定不仅要研究它们的设计，而且还要用真正的硬件和软件构建一台可做科学研究的计算机。我对冯•诺伊曼在普林斯顿高等研究所的早期计算机有生动清晰的记忆。那时，他有两个主要的科学兴趣：氢弹和气象学。夜晚，他用计算机做氢弹问题，白天，则做气象学问题。白天，游荡在计算机大楼里的许多人都是气象学家，他们的领导是朱尔•查耐（Jule Charney）。查耐是一位真正的气象学家，妥善谦卑地讨论天气变幻莫测的神秘，怀疑计算机解决这个神秘的能力。我听过冯•诺伊曼以这个问题为主题的一次演讲。如往常一样，他充满自信地说：“计算机将使我们能够在任何时刻将大气划分为稳定域和不稳定域。我们可以预测稳定域，我们能够控制不稳定域。”

 

冯•诺伊曼相信，任何不稳定域都可以通过明智而审慎的小扰动来推动，推动它向任何所期望的方向移动。小扰动可以通过携带烟雾发生器的飞机舰队来实施，在扰动效果最佳的地方吸收太阳光，提高或降低局部温度。特别是，通过尽早鉴不稳定域，我们能在飓风之初将之停止，然后在该区域气温上升并形成漩涡之前，降低其气温。冯•诺伊曼在1950年指出，只需用十年的时间就能建造足以精确诊断大气中稳定和不稳定区域的强大计算机。一旦能够精确诊断，我们就能在短时间内实施天气控制。他期望能在20世纪60年代的十年中，对天气的实际控制成为常规操作。

 

冯•诺伊曼当然错了。他错在不知道混沌（chaos）。我们现在明白，当大气运动局部不稳定时，实际上常常是发生了混沌。“混沌”意味着刚开始聚拢在一起运动会随着时间推进而呈指数般离散。当运动成为混沌时，它就不可预测，小扰动不可能将之推向可预测的稳定运动。小扰动通常是将之推向另一种同样不可预测的混沌运动。所以，冯•诺伊曼控制天气的战略思想破产了。最终，他是一位伟大的数学家，但也是一位中庸的气象学家。

 

1963年，在冯•诺伊曼逝世6年后，爱德华•劳伦兹发现气象方程的解总是混沌。劳伦兹是一位气象学家，通常也被认为是混沌的发现者。他在气象学的背境中发现了混沌现象，并赋予它们一个现代化的名字。事实上，早在1943年在剑桥的一次演讲中，我已听数学家玛丽•卡特赖特描述了同样的现象，比劳伦兹早20年。卡特赖特1998年以97岁高龄逝世，她以不同的名称称呼这种现象，但他们讲述的是同一现象。她是在描述一种非线性放大器振动的范德波尔方程的解中发现了这些现象。范德波尔方程在第二次世界大战中变得重要，因为在早期的雷达系统，非线性放大器要为发报机提供动力。发报机工作不规则时，空军就会责备制造商生产了有缺陷的放大器。玛丽•卡特赖特被请来寻找问题。她发现问题出在在范德波尔方程。她指出，范德波尔方程的解有精确的混沌行为，这正在空军所抱怨的。在我听冯•诺伊曼谈论天气控制之前7年，我已经从玛丽•卡特赖特处得知所有的混沌问题，但我没有远见卓识足以将二者联系起来。我从来不曾想到：范德波尔方程所描述的不规则行为可用于天气预报的研究。如果我是一只鸟而不是一只青蛙，我也许能看出其中的联系，也许就能帮助冯•诺伊曼解决许多麻烦。如果他在1950年就知道混沌，那么他会深入地思考这个问题，并会在1954年就混沌问题谈一些重要的见解。

 

在走向生命尽头之时，冯•诺伊曼陷入了麻烦。因为他是一只真正的青蛙，但每个人都期望他是一只飞翔的鸟。1954年，国际数学家大会在荷兰阿姆斯特丹举行。国际数学家大会每四年举办一次，应邀在大会开幕式上作演讲是一个崇高的荣誉。阿姆斯特丹大会的组织者邀请冯•诺伊曼作大会主题演讲，希望能再现希尔伯特1990年在巴黎大会上的盛况。正如希尔伯特提出的未解决问题指引了20世纪前半叶的数学发展，冯•诺伊曼应邀为20世纪后半叶的数学指点江山。冯•诺伊曼演讲的题目已经在大会纲要中公布了。它是：《数学中未解决的问题——大会组委会邀请演讲》。然而，会议结束后，包含所有演讲内容的完整会议记录出版了，除了冯•诺伊曼的这篇演讲之外。会议记录中有一空白页，上面只写着冯•诺伊曼的名字和演讲题目，下面写着：“演讲文稿尚未获取。”

 

究竟发生了什么事？我知道所发生的事情，因为1954年9月2日，星期四，下午3：00，我正坐在阿姆斯特丹音乐厅的听众席上。大厅里挤满了数学家，所有人都期望在这样一个历史时刻聆听一个精彩绝伦的演讲。演讲结果却是令人非常失望。冯•诺伊曼可能在几年前就接受邀请做这样一个演讲，然后将之忘到九宵云外。诸事缠身，他忽略了准备演讲之事。然后，在最一刻，他想起来他将旅行到阿姆斯特丹，谈一些有关数学的事；他拉开一个抽屉，从中抽出一份20世纪30年代的老演讲稿，弹掉上面灰尘。 这是一个有关算子环的演讲，在30年代是一个全新、时髦的话题。没有谈任何未解决的问题，没有谈任何未来的问题。没有谈任何计算机，我们知道这是冯•诺伊曼心中最亲爱的话题，他至少应该谈一些有关计算机的新的、激动人心的事。音乐厅里的听众开始变得焦躁不安。有人用全音乐厅里的人都能听见的声音大声说：“Aufgewarmte suppe”，这是一句德国，意思是“先将汤加热（warmed-up soup）”。1954年，绝大多数数学家都懂德语，他们明白这句玩笑的意思。冯•诺伊曼陷入深深的尴尬，匆匆结束演讲，没有等待任何提问就离开了音乐厅。

 

 

如果冯•诺伊曼在阿姆斯特丹演讲时对混沌略有了解，那么他可能提出的未解决问题之一应该是弱混沌。50多年后的今天，弱混沌依然是尚未解决的问题。这个问题是要明白为什么混沌运动常常受到边界约束，不会引发任何猛烈的动荡。弱混沌的一个好例子是太阳系中行星和卫星的轨道运动。科学家们最近发现，这些运动是弱混沌。这是一个令人震惊的发现，颠覆了太阳系作为有序稳定运动最好例证的传统概念。200年前，法国天文学家、数学家拉普拉斯（Laplace）认为，他已经证明了太阳系是稳定的。现在看来拉普拉斯错了。轨道的精确数值积分清楚地显示，相邻轨道呈现指数级偏离。在经典力学的世界里，弱混沌似乎无处不在。

 

在长期积分（long-term integration）做出来之前，人们从未想象过太阳系中的混沌行为，因为这种混沌是弱的。弱混沌意味着相邻轨道呈指数级离散，却不会离散得太远。这种离散开始时以指数级速度增长，但随后就维持在边界处。因为行星运动的离散是弱的，所以太阳系能在40亿多年的时光里得以生存。尽管这种运动是混沌的，但行星从来不会在远离它们所熟悉的地区漫游，因此，太阳系作为一个整体从来不曾分崩离析。尽管混沌无处不在，但拉普拉斯将太阳系当作像时钟运动一样完美的观点离事实并不遥远。

 

在气象学领域，我们看到了相同的弱混沌现象。尽管新泽西的天气糟糕地混沌，但这种混沌严格有限。夏天和冬天有着不可预测的温和或严厉，我们却能可靠地预测：气温绝对不会升至45摄氏度或低到零下30摄氏度，这是经常出现在印度和明尼苏达的极端情况。物理学中没有守恒定律禁止新泽西的气温不可以升至印度一样的温度，或禁止新泽西的气温不能降低到明尼苏达的气温。混沌的弱点成为这个星球上生命长期生存的关键。弱混沌在赋予我们各种挑战性天气的能力的同时，也保护我们不致遭受危及我们生存的剧烈温差波动。我们还不能理解混沌保持这种仁慈之弱的原因。这是今天在座的年轻青蛙们可以带回家的另一个未解决问题。我挑战你们弄明白这个问题：为什么在各种动力系统中观察到的混沌均是普遍微弱。

 

混沌的特征已被众多的数据和无止境的美丽图片所勾勒，但却缺少严格理论。严谨理论赋予一个课题以智力的深度和精确。在你能证明一个严格理论之前，你不可能全面理解你所关注的概念的意义。在混沌领域，我知道只有一个严格理论在1975年被李天岩(Tien-Yien Li)和吉姆• 约克（Jim Yorke）所证明，这篇短论文的题目是：《周期三蕴含混沌》（Period Three Implies Chaos）。李-约克论文是数学文献中不朽的珍宝。他们的理论将非线性地图的区间扩展至它本身。当被当作是一个经典粒子的轨道时，点位置的连续性就能重复。如果一个点在N次映像之后又回到它原始的位置，那么这个轨道就有N个周期。由此而论，如果一个轨道从所有的周期轨道中离散，那么这个轨道就被定义为混沌。这个理论表明，如果单个轨道拥有三个存在周期，那么混沌轨道就是存在的。这个证明简洁、短小。在我的印象里，这个理论和它的证明投向混沌基本特征的光芒胜过几千张美丽图片。它解释了混沌为什么在这个世界里普遍存在，但没有解释混沌为什么总是这样弱，这是留给未来的一个任务。我相信，在证明有关弱混沌的严谨定理之前，我们是不会从根本上理解弱混沌。

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