漩涡

■梁进

埃舍尔利用很多奇妙的数学曲线作画。欧拉螺线就是其中之一。

欧拉螺线，也叫羊角螺线和回旋曲线。这个螺线美丽而又非常实用。它被美国著名微分几何学家Alfred Gray称为“最优美的平面曲线之一”。它广泛应用于衍射计算并且在铁路和高速公路工程的弯道技术中起重要作用。该曲线开始于原点，以零曲率零斜率向两边延伸，曲率随着其曲线的长度增长而增长，最后曲线收敛于两个镜像点或以这两个镜像点为圆心的圆。

欧拉螺线之所以以著名数学家欧拉（1707~1783）的名字命名，并不是因为欧拉发现了这个螺线，而是因为欧拉彻底解决了这个螺线的数学问题。这个曲线最早在1694年由詹姆士·贝努利从一个弹性力学问题提出，他写出了这个曲线的近似方程，但并没有解出来，也没有准确地画出来，甚至没有任何数值计算。也许他并没有把这个结果当回事，这个工作也没有发表。直到1744年，他的侄子尼克拉斯I.伯努利将其整理后发表。同年，欧拉写出了曲线准确的方程，即这个曲线的参数形式是以菲涅耳积分表达，欧拉还得到其展开式。37年后的1781 年，欧拉利用巧妙地积分变换，找到了曲线的极限点，即将相关的无穷菲涅耳积分的收敛点算出。不仅如此，如果用这个曲线的x 和y 的参数表达式分别作为一个复变函数的实部和虚部，还可以得到很多著名的函数。

这么有意思的数学曲线，埃舍尔当然不会放过，他将此赋以另一种人文哲学的含义。漩涡（Whirlpools，1957）一图，两队红色和灰色的鱼沿着欧拉曲线相向而游，分别从欧拉曲线的一个极限点旋转游出，由小变大，进入另一个漩区后，再由大变小，旋转地游向另一个极限点。寓意着不同世界的人擦肩而行，方向却是相反，分别奔向另一方的出发点。这让我想起钱钟书“被围困的城堡，城外的人想冲进去，城里的人想逃出来”之名言。不过我更愿意把它理解成两种世界的循环轮回。当然两个世界也可以简单地穿插行进而过，一如鱼鸟在埃舍尔的另一幅画“两个相交的平面”（Two Intersecting Planes，1952）中的行为。