■梁进

分形是很近代的数学思想，它表达了具有以非整数维形式充填空间的形态特征。尽管分形的思想自古有之，1895年魏尔斯特拉斯创造了具有“处处连续，点点不可微”性质的被誉为分形鼻祖的曲线。随后著名的kouch曲线，Sierpinski三角形被构造出来。但长期以来，具分形特点的几何体一直被认为只在人们的想象中存在。

直到1967年，芒德勃罗在美国Science杂志上发表题为《英国的海岸线有多长》的论文，才把分形从象牙塔中请了下来，告诉人们英国的海岸线可以无限长，不可以用欧几里德几何度量。人们惊讶地发现，分形几乎处处存在。

1973年芒德勃罗首次提出分形一词，以此来表达其具有不规则、支离破碎等意义，并创立了分形几何理论学科。之后随着计算机的发展，分形成为一门热门的数学学科，并衍射到许多其他科学学科。

分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都有精细结构；不规则，难以用传统欧氏几何的语言来描述；具有自相似形式；一般地，其“分形维数”会大于拓扑维数；在多数情况下有着简单的递归定义。

1972年就去世了的埃舍尔应该不知道什么是分形，然而在他的画里，我们已经可以捕捉到分形的思想。尽管埃舍尔的大量作品不乏有自相似、递归等分形特点，要真正算上符合分形定义虽然不多却已经光彩夺目。

左图名叫《刺花》（Prickly Flower，1936）的画，实际上已是一幅典型的分形画。那花边的毛毛刺刺连起来恐怕比英国的海岸线还要长。

如果说埃舍尔画《刺花》还只是碰巧画了一个具分形特点的花，那么名为《露珠》（Dewdrop，1948）的画，就能直接触摸到画家的分形思想。画中叶面上有一滴水，除了反射，还像一个显微镜。通过这个水滴，作者让我们看到了叶子更细微的结构，这种结构就是不规则叶脉递归的自相似性，越来越小。很多年后，当计算机可以模拟出类似的图形后，再回来看埃舍尔的这幅作品，不能不佩服他那超越时代的分形感悟。

▲埃舍尔作品《露珠》（Dewdrop，1948）

埃舍尔作品《刺花》（Prickly Flower，1936）