当你驻足于复旦大学数学科学学院（下文简称：数院）教授谢践生的“现代概率论基础”课时，会折服于那一黑板满满当当、清晰流畅的板书。

没有炫目的动画切换，也没有精美的书法字体，当课堂教学回归到最质朴、最直接的方式，黑板上数字与符号的纵横交错间，沉淀的是概率论学科数百年来的发展和创新。

这门课也是复旦入选的2022年度上海高等学校一流本科课程之一。

“重新发现”定理推广版本，将独创内容纳入讲义

在大部分数院学生眼里，这是一门相当“硬核”的课程。由于本研合开的设置，对于本科生来说，需要一定的基础才能跟上课程。

尽管如此，这门课程依然在同学中有着很高的认可度，也常常有外系同学前来旁听。

“很好奇今年会有什么新内容”，吸引2020级数院本科生林星选这门课的一个重要因素就是课程讲义每年都在更新，“许多同学甚至会向下一届选课学生借阅新课件，通过对比课件修改，对自己的知识体系查缺补漏。”

课程的前身是“概率论与随机过程基础”。当时，国内大部分概率论学科教学采用的是外国教材，不仅内容过于陈旧，其模式缺乏学习内容上的整体规划，渐渐不适应学科发展下新时代的学生们的需求。

由于发现课堂反馈不理想，谢践生着手编撰适应课堂教学、体系完整统一的《现代概率论基础》讲义。

新讲义的建设除了做到符号术语系统、理论论述框架的统一这类整理性工作外，也不乏学术方面的创新点。

在参考经典概率论教材《概率论:理论与实例》（Probability : Theory and Examples）时，谢践生发现书中关于布莱克韦尔更新定理的证明存在瑕疵，其中一个关键的取极限步骤不能使用传统的勒贝格控制收敛定理。

为补全证明，他与合作者赵敏智讨论，“重新发现”了作为勒贝格Lebesgue控制收敛定理的推广版本——随机控制收敛定理，由此修正了Durrett书中的相应证明。而这个推广版本的随机控制收敛定理也进一步被收入课程的讲义中。

“其他教材都没有发现这个逻辑漏洞，更没有任何已出版教材收录、介绍随机控制收敛定理这一强大而有趣的结果，这方面我们的讲义是有独创性的。”

此外，讲义对于概念的界定也作了严谨的考量。例如，“随机变量”的概念就不同于普遍认识中的定义：容许在零概率事件上取值无穷大，以免学生对本科入门教科书所提到的“随机变量就是可测函数”产生迷惑。

化问题为“补丁”，面向学生使用十二年

除了在讲义中整理相关科研结果、调整内容的前后逻辑关系之外，谢践生还特别注重他称为“补丁程序”的过程。“除了向先辈学习、向同行学习，向学生学习对讲义编写也有很大助益。”

在课堂上，讲解不顺之处，他会记录下来，课后反复打磨。不采用PPT而使用板书的形式，正是为了随时关注学生的反应。

根据学生接受情况，他也会将学生不理解的问题在课件中标注。日积月累，就慢慢“补”上了原有的局限。因此，他注重与学生的互动，常常在课下和学生交流，从另一种角度审视课堂效果。

工作之余，他常通过互联网社区了解大学生们在概率论方面的疑惑，吸收其中有趣的问题或解答，进行适当修改后加入讲义。这并不是一个容易的工作——这些问题往往天马行空，把它们加入到哪一部分更加连贯和恰当，需要反复推敲琢磨。

将实用性放在第一位，从学生自学和教师讲授两个方面统筹考量，化问题为“补丁”，谢践生始终力求最大化学生们提出的每个问题的价值。

《现代概率论基础》讲义内页

“这门课，是‘概率论’的后置课程，难度和深度上都远超‘概率论’，对后续学习现代理论具有重要的意义”，胡行健大二就曾修读谢践生的“概率论”，大三第一学期又修读了“现代概率论基础”。

“两门课都是由谢老师授课，学习时能明显感觉到课程之间的连贯性。后续我又修读了更多的概率方向的课程。” 如今胡行健已经直博成为数院概率论与数理统计方向一名博士生，博士期间也会继续做概率统计方向的研究。

说起“现代概率论基础”课程的讲义，他也有很多感触，“讲义是谢老师自编的，涵盖了非常多的概率分支，却能在详略得当的基础上，对理论的思想、定理的意义给出了充足解释。大三期间，我学习了其中非常多的内容，打下了很好的基础。”

目前，《现代概率论基础》讲义已经是面向学生使用的第十二年，谢践生依然没有停下“打补丁”的脚步。

“这门课涵盖的内容更多，也更深，需要反复修改校订，每当做出新成果时，一开始总是很飘飘然。只有冷处理一段时间，才能客观看待，减少错误。”

编撰讲义是谢践生多年教、学、研工作的积累。给成果以沉淀的时间，是他多年来在岗位上磨炼出的平常心，也是对广大学生的责任心。

课堂上的思考变成学术成果，发表在Sci期刊

“向学生学习”的做法，也鼓励了同学们在课堂上独立思考。

2019级数院本科生周瑞松，在一次习题课上，发现讲义收录的来源于Dvoretzky和Erd?s研究论文的一个建立强大数律的方法中有冗余条件，具有改进的空间，随即将自己的思考以邮件形式发送给谢践生。

师生二人通过合作进一步进行研究和演算，确认了有关条件的冗余性，由此建立了更漂亮的强大数律判据，成果于2022年底被收录在Sci期刊《统计与概率学杂志》（Statistics and Probability Letters）上，并于今年4月正式发表。

“课程具备的深度和广度，能够让我们深入了解概率论是一个怎样的学科。在成果发表过程中，我和谢老师对论文的行文与内容进行了大量的修改与斟酌，过程中我受益匪浅”，周瑞松说。

“硬核”课程，有着“柔软”的思想

数学专业的学习内容常常被人认为理论性强而“不接地气”。实际上，现代概率论与其他学科的发展有千丝万缕的关系。

对离散问题的研究，推动了计算机复杂网络的发展；贝叶斯概率在有关模型中的应用最后导致了当下人工智能产业的爆发；现代金融的研究和发展也离不开概率论体系。

如此种种，谢践生都将这些学科交叉的成果都融入讲义和课堂中，借此强调自己对数学教学的理念：“数学是精确描述现象的科学语言，而概率是精确描述不确定性现象的数学语言。只有与实际现象结合起来，才能够真正地理解数学、做好数学的应用。”

他希望，“现代概率论基础”教给同学的不仅仅是公式和理论。这门“硬核”的课程，有着“柔软”的思想——面对这个不确定的世界和不完整的知识，抓住已有的信息逼近真实，再利用实践去检验。

数学并不如外行看来那样枯燥和苍白，在这些优秀课程的演绎下，也可以是一种美丽的语言。正如谢践生欣赏的一句名言所说的那样：“如果一门科学不能纳入数学，那它只能被称为学科。”