作者:韩扬眉 沈秋月 来源:科学网微信公众号 发布时间:2022/11/8 20:40:23
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张益唐北大演讲:“部分解决黎曼假设应该是对的”

 

文 | 《中国科学报》记者 韩扬眉 实习生 沈秋月

千呼万唤始出来。

11月8日,华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐线上参加由北京大学数学科学学院组织的学术报告,向北大师生及公众解读他的最新成果——11月4日,关于朗道-西格尔零点猜想的论文《离散均值估计和朗道-西格尔零点》正式上传至预印本网站arXiv。

报告会正式开始之前,张益唐强调:“有人以为就是证明了黎曼假设是错的,我再说一遍,我可没有这个本事。我只是在一定范围里部分地解决黎曼假设应该是对的。如果说我推翻了黎曼假设,估计没什么人会相信。”

3天前,11月5日上午,张益唐就已向山东大学师生作了关于他最新成果的线上报告。张益唐提到,数论无论在任何时候都是很有发展前途的,“从来没有人敢说在数学发展史上数论不重要,尽管有时候解析数论发展有些缓慢。”

据澎湃新闻报道,张益唐教授夫人孙雅玲也在当天的报告会进行了发言。她描述了张益唐对数学的“疯狂”程度:每天早上七点多天蒙蒙亮,张益唐拄着拐杖、背着书包就走了,晚上走回家就七点了,“回到家,研究做不出来就一直嘟囔:‘零点、零点。’连我都知道零点了。我就想了个办法,每天晚上把菜准备好,让他回来炒菜,把注意力分散一点”。

“部分解决黎曼假设应该是对的”

大约40分钟的学术报告,张益唐没放PPT,只有两块白板,一只马克笔,他用尽可能初等的数学语言,尽可能缓慢的语速,边写公式边讲述,分享了他在朗道-西格尔零点问题上的思路和方法。

张益唐手写公式(视频会议截图)

张益唐提到,他花了很长时间去寻找问题的解决办法。

“如同大海捞针一样,我试了很多的方法,包括变分法、积分方程等,但关键一步都跨不过去。但是我后来发现,即使捞不到这根针,但是我已经把海底环境摸索清楚了,也不需要非得一定捞到这根针。”

“这可能是一个新的突破。”张益唐说,能做到这一步,应该说自己比较庆幸,虽然仍然使用传统的解析数论的方法,但是利用到了极致,完全吃得很透了,才能够找到这样的关系。

纯数学问题最美妙,也最艰难。正如张益唐所说,数论在任何时候都是有发展前途的,严谨治学的风格、锲而不舍的精神非常重要,经典方法是否有效,取决于你是否能把它做到极致。

张益唐讲述新方法(视频会议截图)

只言片语难以言明朗道-西格尔零点问题的奥妙之处。《数学文化》联合主编、山东大学教授刘建亚向《中国科学报》解释了朗道-西格尔零点问题的重要意义。

刘建亚表示,首先,这一问题是基本的,任何做解析数论的人都无法规避该问题。其次,这个问题是困难的,自20世纪30年代以来,这个问题的研究几乎没有实质性进展。最后,也是最撼动人心的是,张益唐对朗道-西格尔零点猜想的证明一旦通过了验证,将改写解析数论的教科书,解析数论的研究生教材要因此而改变。

究竟什么是“朗道—西格尔零点”问题?

根据山东大学新闻网介绍,素数分布一直是数论研究的中心问题。解析数论是数论中以解析方法作为其研究工具的一个分支。黎曼zeta函数和狄利克雷L-函数的各种分析性质是解析数论研究的重要理论基础。正如黎曼zeta函数的零点分布与素数分布之间有着深刻密切的联系,狄利克雷L-函数零点分布也在素数理论中发挥广泛而根本性的作用,与素数分布的诸多核心问题有着深刻的内蕴联系,如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等。

因为全体模D的狄利克雷特征的适当线性组合可以表示出模D算术级数的计数函数,所以狄利克雷L-函数与算术级数中的素数分布问题密切相关。对于固定的狄利克雷特征,黎曼zeta函数的解析性质大多容易推广到相应的狄利克雷L-函数上去。

比如当特征是复特征时,其L-函数与黎曼zeta函数有类似的非零区域

但是,当特征是实原特征时,在区间

内至多可能存在一个一阶实零点,这里c是一个适当的正常数。朗道(Landau)和西格尔(Siegel)等在这一问题作出过重要贡献,这个可能存在的例外实零点被称为朗道-西格尔零点。

如果我们相信广义黎曼猜想,那么朗道-西格尔零点应该不存在。朗道-西格尔零点的研究非常重要,是解决很多数论问题的瓶颈。

所谓的朗道-西格尔零点猜想断言,朗道-西格尔零点确实不存在。这是数论中长期悬而未决的重要猜想。一旦证明了这一猜想,就可以取得很多新突破,简化和加强很多经典数论结果。张益唐在最新预印本论文里证明了,模D的实原特征L-函数在区间

内没有实零点,这里c是绝对实效正常数。如果把这里的2024换成1,就得到原始形式的朗道-西格尔零点猜想。2024虽然大于1,但在数学意义上,与1并没有实质性的差别。

“目前是(指数)做到了2024,我想经过一番努力应该还是可以做到几百的,但是做到1还确实存在难度,现在达不到,这就回到原始形式的朗道-西格尔零点猜想了。”张益唐说。

事实上,在2007年,张益唐在预印本网站提交了《论朗道-西格尔零点猜想》的论文,被认为存在缺陷。而11月4日提交的论文《离散平均估计和朗道-西格尔零点》,张益唐突出了使用的研究方法和工具。

数学界将对这一成果进行同行评审

111页的论文,重要的数学难题,数学界为之震动。

《中国科学报》记者获悉,张益唐的导师潘承彪教授评论:“听了益唐讲的想法很清楚,这是一个重要的筛法新思想,有很大发展潜力,可实现起来很难。”

张益唐获悉后跟夫人说:听了潘老师的肯定,胜于一万个人的赞扬。

《中国科学报》记者还了解到,著名数论专家Andrew Granville回复邮件表示,“I understand his plan--I have also thought about t hese things but have thought it would be impossibl e to make anything like this work.But of course Zhang is very brilliant so who knows? I do not have time to read this now but hopefully so me clever young person will。”(我理解他的计划---我也考虑过这些事情,但我认为要把这样的事情做好是不可能的。当然,张是非常聪明的,所以谁知道呢?我现在没有时间看这个,但希望聪明的年轻人能够看一看。)

张益唐这一论文在“MathOverflow”(一个面向专业数学家的问答网站)得到了热烈的讨论:

“在之前的许多论文中,都假设Siegel零不存在,但它不需要那么强。张的论文并没有排除西格尔零点存在的可能性,但是这种排除的范围足以覆盖之前很多论文要求的范围。这使得许多先前的结果从假设结果变为确定性结果,从这个角度看,论文的意义是极其重大的。”

“假设这篇论文是正确的,一个直接的结果是,每一个源自西格尔定理的无效常数现在都是有效的。当然,结果暗示的远不止这些,但如果结果正确,这已经足够使结果具有纪念意义了。”

“如果张的结果是正确的,将会有许多重要的后果。一个具体的结果是,它将高斯和欧拉时代最后一个开放的问题减少到有限的计算量,即每属一类的二元二次型判别式分类。”

接下来,数学界将对这一成果进行同行评审。据了解,张益唐2007年那篇论文的评审速度很快,只用了两三周。鉴于其重大关注度,这次也应该不会太慢。

在报告最后,张益唐说,这个研究成果只是在小范围内证明朗道-西格尔零点猜想是对的,就是说这个零点确实是不存在的。“我现在的研究其实还存在继续完善的地方,论文也需要做进一步的深化。”

 
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