作者:韩扬眉 来源:科学网微信公众号 发布时间:2022/10/18 20:37:16
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张益唐新成果将震惊学界?他曾说:要做就做大问题

 

文 | 《中国科学报》记者 韩扬眉

这两天,因为网传数学家张益唐的一句话,整个数学圈沸腾了。

据称,张益唐在参加10月15日北京大学校友Zoom线上会议时,口头表达了自己攻克朗道—西格尔零点猜想(Landau-Siegel Zeros Conjecture)的最新进展,且相关文章将在11月初上线。

这一猜想与已经悬置160多年的著名数学难题“黎曼猜想”相关。简单说,如果存在朗道-西格尔零点,那么黎曼猜想就是错的;如果朗道-西格尔零点不存在,则不会和黎曼猜想发生冲突。

无论是哪种结果,无疑都是数学史上里程碑式的事件。截止目前,张益唐并未在其他场合宣布这一进展。但他素来为人沉稳,同行们相信他不会信口开河,都期待着11月见分晓。

最终,究竟是否完全攻克,不少科学家表示,证明是否正确还有待观察,还需要国际数学界学术同行的确认。

究竟什么是朗道—西格尔零点问题?为何攻克它会让数学界为之一“震”?

难度比肩“黎曼猜想”

与诸多猜想类似,朗道—西格尔零点问题是由数学家名字命名。

朗道和西格尔是两位著名的数学家。朗道是德国数学家希尔伯特(注:1900年,希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个悬而未决的数学问题,即著名的“希尔伯特的23个数学问题”)在数论领域的继承人。朗道指导过不少博士生,其中最为出色的学生之一就是西格尔,西格尔发现了一类特殊的函数—L函数理论中的西格尔零点现象。

朗道—西格尔零点问题,因朗道和西格尔两位数学家的共同开创性贡献而得名,归根结底在于解决:L函数是否存在异常零点。

朗道—西格尔零点问题与数学上著名的未解难题“黎曼猜想”有关,它是广义黎曼猜想的“一种特殊并且可能比其弱得多的形式”。

张益唐对这一问题的研究,与他从博士期间便开始的黎曼猜想研究有关。

接下来,我们细细道来两者的关系,“黎曼猜想”是关于素数(又叫质数)的问题,目的是研究素数分布规律。

在小学,我们的数学课本中第一次出现了“素数”的概念。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做素数。这样一个简单却粗略的描述,使得数学家们为寻找一个更为精确的表达公式而“前赴后继”。

1859年,德国数学家黎曼发表了一篇题为《论不超过一个给定值的素数的个数》的文章。这是他在解析数论领域发表的唯一一篇文章,文字简练,仅仅8页纸,却成为该领域最经典的文章。

黎曼认为,素数的分布奥秘与一个复杂的函数密切相关,而使这个函数取值为零,即非平凡零点对素数分布的精确规律有着关键性影响,他在文中定义了一个被后世称为“Zeta”的无穷极函数。

黎曼猜测,可能所有非平凡零点都位于实数部分等于1/2的直线上,这条线被称为临界线。这就是令后世数学家魂牵梦绕、辗转反侧的“黎曼猜想”。

张益唐在香港中文大学(深圳)的一次讲座中提到,学术界公认的思路是应该构建新的函数来研究黎曼猜想,其中就包括狄利克雷L函数。而在狄利克雷L函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2,这是广义黎曼猜想。

而在广义黎曼猜想中,一种特殊并且可能比其弱得多的形式,即为朗道-西格尔零点问题。在前人的研究中,广义黎曼猜想恰好是朗道—西格尔猜想的充分条件。

自从20世纪初,诸多数论专家纷纷投入这一问题,但都没有成功,有数学家甚至预言,朗道—西格尔零点问题的解决比原黎曼Zeta函数的猜想更难。

目前,根据可查阅到的文献,关于朗道-西格尔零点问题的研究,张益唐或许是最为“深入”的一位数学家。

2007年,他在预印本网站arXiv上刊发了“On the Landau-Siegel Zeros Conjecture”(关于朗道-西格尔零点猜想)的研究,尽管被认为存在一些“瑕疵”,但也在推动该问题一步步往前发展。

如何理解这一问题的意义?

2019年11月,张益唐在北京的一场报告上介绍了朗道-西格尔零点问题存在与否的两种情况,有句话令人印象深刻:

“有一种说法,朗道-西格尔零点问题可以划成两个宇宙,第一个宇宙存在朗道-西格尔零点,第二个宇宙不存在朗道-西格尔零点,现在我们的问题是不知道我们到底生活在哪一个宇宙里?如果我们生活在第一个宇宙,零点真的存在,那也不得了,黎曼假设被证明是错的。”

在报告中,张益唐表示,目前来讲,能够做一个报告,至少一个弱形式这个问题方面还是有可能做出来,但是整个technical(工具、方法)的东西是非常非常复杂的。

张益唐的同事、数论学家Stopple曾说,如果张益唐能对此作出证明,那么加上他的上一份成就,在某种意义上,(其概率)就像是同一个人被闪电劈中两次。“如果他从未成名,那么做出这项工作也会让他跟上次一样被世界瞩目。”

一生执着做“大问题”

很多年前,北大数学系1978级一个学生干部问丁石孙先生(北京大学原校长):为什么我们这级还没有出人才?丁石孙的回答是“时机还不到”。

在张益唐看来,当时改革开放刚刚开始,北京大学的学风和学术训练对人才培养有着很大的帮助,但是整体来讲,20世纪80年代我们的水平跟国际整体水平相比差距太大了。

丁石孙所说的时机,随着包括张益唐在内的一群人坚持做“大问题”而逐步到来。

事实上,朗道-西格尔零点问题是张益唐致力于解决的第二个“大问题”。

在数学界,张益唐被认为是“传奇般的存在”,极端的两面聚集一身:78级北京大学数学系天才、美国新罕布什尔州一家快餐店的会计;留美博士、毕业后漂泊了8年,至50岁才成为一所大学的讲师。

在很多次采访中,张益唐谈起这段经历时,从未表现过痛苦之意。在他看来,有办公桌,有纸有笔,就可以继续做研究。这种孤独与沉寂一直持续到2013年,张益唐凭借一篇《素数间的有界距离》而轰动国际数学界。

这是与黎曼猜想、哥德巴赫猜想齐名的世界级数学难题。张益唐证明了“存在无穷多个差值小于7000万的质数对”,从而在孪生素数猜想这一数论重大难题上取得重要突破。

事实上,在此之前,世界最顶级的一批数学家曾在旧金山讨论过这个难题,但是最终都认为,以现有的数学发展水平解决不了。数学家Goldston甚至绝望地认为,自己有生之年都不会得到答案了。

这是张益唐在20多年里,致力于朗道-西格尔零点猜想以及其他一系列重要命题研究过程中,旁溢而出的成就。张益唐把研究结果默默投递到《数学年刊》,期刊在短短几周之内就过审,创下了该刊百年来的最快过审记录。

对于张益唐来说,或许成功是偶然也是必然。无论是黎曼猜想,还是孪生素数猜想、朗道-西格尔零点问题,张益唐把一生的时间都交给了数学上的“大问题”,他“有这个野心”只做“数学中最重要的研究”,且一直坚持下去。

做数学,是天才的“专利”吗?

被认为是“天才”的张益唐曾在接受《中国科学报》采访时提到,他非常赞同北大张平文院士所说的要“保护”天才,而不是“培养”天才的观点。

这个“保护”,是引导数学人才不要去做小问题,要做就做大问题。

张益唐说,尽管我们都觉得美国数学的基础教育很浅,但依然有些东西值得我们学习。在美国,如果发现一个孩子有数学或是其他天赋,他们会对这些孩子有更高的要求,提供更多的机会和资源,不会埋没他们的天赋。

如今国内的情况已大不相同,张益唐惊叹地说道,“现在的小孩聪明得不得了,虽然是本科生,水平已经跟研究生差不多了。”

他相信,中国数学一步一步、实实在在去做,自然地就能提升。

参考资料:

https://mp.weixin.qq.com/s/6O3EHNKbJ6KHXTL0vhRwpQ

https://mp.weixin.qq.com/s/O-WPwjByQvPbjQ8Wo1mAfw

https://3g.163.com/dy/article/HJRE83PP0552DUE6.html

http://www.pku.org.cn/people/dsff/1311897.htm

https://3g.163.com/dy/article/HJRE83PP0552DUE6.html

https://view.inews.qq.com/a/20220206A0883B00?startextras=0_ecf080c1bfe63&from=ampzkqw

 
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