《数学与人类思维》，［法］大卫·吕埃勒著，林开亮等译，上海科学技术出版社2015年8月出版

数学柏拉图主义在今天的式微，数学家社会的形成，不可避免使一个问题尖锐化：何以判定一项数学工作是好的工作？

■葛之

什么是数学和数学思维的本质？数学家无疑对此最有发言权，可惜数学家很少写数学论文和专著以外的作品，颇有一丝“不足为外人道也”的清高或诡秘。这类作品也就屈指可数了，如哈代《一个数学家的辩白》、外尔《对称》、阿达马《数学领域的发明心理学》，或波利亚的“数学解题系列”，早已是数学粉丝们书架上必不可少的经典。不过这些书都是年代较远，尤其是没有顾及计算机科学的发展对数学的深远影响。法国著名数学物理学家、混沌动力学的开拓者、《机遇与混沌》的作者大卫·吕埃勒院士的新作《数学与人类思维》则包含了很多新的亮点，非常值得一读。

这本书的英文书名是The Mathematician’s Brain，如果是直译，可能会被误解为一本神经科学或认知科学的著作。译者之一的林开亮博士在同吕埃勒商量之后，中译本书名定为《数学与人类思维》，这是极为贴切的书名。作者身处数学和物理研究第一线，他并不是研究思维本质和过程的专家，该书通俗而不失权威性地探讨了关于数学思维和数学家群体的种种话题。

什么是数学？作为数学的主要创造者，数学家是如何思考的？数学家有着怎样的性格和志趣？数学家们是一个怎样的群体？数学家如何面对所处的现实世界？数学既是头脑创造出来的产物，又是不容随心所欲的客观实在，数学柏拉图主义在现代又遭到了什么样的质疑与挑战？计算机与人工智能的兴起，对我们理解数学的本质有什么样的帮助和冲击？如果有外星人，他们会有怎样的数学，他们会如何看待地球人的数学？……吕埃勒在《数学与人类思维》这部篇幅不大的科普佳作中做出了他的思考，尽管他不是一劳永逸地试图解决这些引人入胜的问题，但本书行文流畅生动，对于理解这些问题以及他的某些灼见具有极好的帮助。

历史上数学柏拉图主义的影响巨大，似乎也很自然地得到认同：数学定理被认为就像是埋在山里的宝藏，它们先于任何人而存在，数学家的任务就是去山里探险，找寻宝藏；与之对立的观点则认为，数学纯粹是人头脑中的产物。最为极端的是普罗泰戈拉所说：“人是万物的尺度：存在时万物存在，不存在时万物不存在。”普罗泰戈拉被当作柏拉图“最精巧的敌人”。

20世纪的数学经历了极为抽象的进展，尤其是哥德尔不完备性定理提出之后，对于人类思考数学给出了一层客观限制，在哥德尔之前，人们可能认为一个数学猜想之所以久未解决，原因无非是要么不够聪明，要么学科还没发展到能够解决它的程度，但在哥德尔定理提出之后，情况发生了转变，加之计算机科学的影响和数学的抽象化，柏拉图主义的地位开始动摇。吕埃勒在对待这个问题上也持谨慎的怀疑态度。他认为数学是依赖于人的大脑思维的，甚至认为普罗泰戈拉的观点在某种角度下也是正确的。

数学柏拉图主义在今天的式微，数学家社会的形成，不可避免使一个问题尖锐化：何以判定一项数学工作是好的工作？在历史上，算术、代数、几何和微积分曾经是非常自然地出现在几大文明之中，关于它们的价值无须多言，创立者本人多半也不是什么职业数学家，绝大多数没有“青史留名”。直到费马、牛顿时代，数学家们还在“玩数学”，作出好的成果也不急于发表，颇像中国古代诗人——这些人多半是怀抱“修身治国平天下”的理想去走仕途，怎奈仕途不顺、报国无门，偏偏上天又赋予其文学上无与伦比的天才，不经意间写下千古绝唱，且越是悲催时写得越好。

今天的情况则十分不同：不止数学，即使是整个科学和文艺领域，错综复杂、五花八门的新思路、新风格、新分支不断涌现，多数又如昙花一现。要判定一项数学工作是否好的工作，答案有多种，比如有没有提出新的概念、思想、方法，是否开拓了新的发展领域，或者是否解决了过去的难题等。这些固然称得上标准，但关键还得有分量的人来承认，还要看是否有人跟进。数学工作当然不能由数学领域外的外行评价，但也不能由创立者自己一个人说了算，必须得到一些相关领域权威的认可，哪怕这些权威人数甚少。一个最典型的例子就是佩雷尔曼，他把自己关于庞加莱猜想的证明挂在网上不再管它，多亏几个数学家小组验证认为是正确的，于是他就名扬天下；而望月新一皇皇五百多页的关于“abc猜想”之证明至今无人看懂，如果未来有个人用大家都认可的方法证明了abc猜想，就有可能引起优先权之争。

既然好的数学工作必须得到主流数学圈子的承认，数学家的名誉和利益也就随之相关。但数学工作的好坏往往要经过几十年才能看出来，即使是再权威的专家也难以给出准确的预言。再者，数学家也是人，最超凡脱俗的数学家群体也未能免俗。即便是成就大如格罗滕迪克和佩雷尔曼，也会由于特立独行而遭到数学界的排斥。格罗滕迪克在一番抗争之后，选择离开了学术界（佩雷尔曼也是如此），书中较为详细地描述了这一令人遗憾的悲剧性事件。

在外行人看来，数学家或许是一个比较古怪的群体，往往有两种极端观念：要么千篇一律地尊其为天才或爱国楷模之类的固化形象；要么视其为被时代潮流边缘化的书呆子。这些都是偏见。与其说不修边幅、生活一团糟是数学家的专利特性，不如说他们外表平静如水，对人情世故轻描淡写，内心却极其丰富，翻江倒海，历尽艰辛。思维强度如此之大，得到的名利却相对少得可怜，数学家势必有一种同普通人不大一样的价值观，并且学会一套敷衍社会的办法，否则他将无法忍受内心与现实的巨大反差和冲突。但这并非说数学家完全脱离现实，相当一部分数学家也会生活，不少数学家其实也是性情中人。作者指出，数学家或多或少有点偏执、躁狂、强迫等症状，以及阿斯伯格综合征，这类症状只要不是很严重的话，不影响安静、深入的思考，只是其特点是：要求世界的很少，同样不希望世界要求他太多，但身边的人往往不能理解。

《数学与人类思维》共23章，每一章相对独立，其涉及面远远超出本文范围。征得作者同意，译者还添加了两个附录。《数学与人类思维》最后一章是“数学之美妙”，耐人寻味。数学诚然深奥、具有改变世界之伟力，但数学家为之如痴如醉却是因为她的美妙。

是啊，美妙绝伦的数学，可敬可爱的数学家。