作者:姜天海 来源:《科学新闻》 发布时间:2015/7/17 13:55:15
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与数学“谈一场热恋”
运筹学领域袁亚湘侧记

袁亚湘,1960 年生,中国科学院院士。

记者 姜天海综合报道

他今年55岁,却仍坚持“兴趣”在人生中的重要作用。学数学,是因为兴趣;做科研也是因为兴趣;打桥牌、读书、爬山皆是兴趣。

他叫袁亚湘,曾管理过一个所 ( 中科院计算数学与科学工程计算研究所)和一个实验室( 科学与工程计算国家重点实验室),也在数学与系统科学研究院当过8年的副院长。但如今他终于“无官一身轻”,“带带学生,想想数学,写写文章,游游世界,不亦乐乎”。

他的简历中对自己的荣誉、奖项几乎只字未提,却写道:“我曾是农民,而且从心里一直自认为永远是农民。我五岁上学,十一岁休学一年,在家放牛。十五岁高中毕业后回村当农民三年。我很想当个诗人,可惜没有天赋。”

但也正是这样一位有着归居田园的质朴、文人侠客豪情的中科院院士,却在最优化计算方法及其理论基础方面做出了杰出的贡献,在信赖域方法、拟牛顿方法、非线性共轭梯度法、子空间方法等方面的创造性研究成果为世人所共赞。2014年10月26日,他因此荣获发展中国家科学院奖,成为我国第六位获得此殊荣的数学家。

谈一场热恋 兴趣驱使数学研究

袁亚湘,“亚”是因为在家排行老二,“湘”是由于来自湖南。今年1月,在他55岁之际,袁亚湘也回到故乡,为长沙同升湖实验学校的千余名师生讲起了自己的人生经历和对数学的热爱。

他从瞎子爬山谈起,深入浅出地阐述了“优化方法”。

“任何存在与需要决策的问题都是优化问题,如力学、材料科学、金融、生命科学、信息科学、地学等等学科中都存在优化问题。”袁亚湘以非线性优化的数学模型为基础,介绍了爬山与优化、最速下降法、共轭梯度法以及信赖域方法。

演讲时,还常常插入一些有趣的优化问题,如达·芬奇与黄金分割、孙悟空与信赖域、守法与惩罚,以及诸如“依葫芦画瓢都行吗”、恐龙是如何灭绝这样的一些与数学有关的有趣故事。

他在钻研数学时发自内心的快乐,让人感觉他在与数学“谈一场热恋”。

18岁那年,已当了三年“农民伯伯”的袁亚湘考上了湘潭大学,专业是计算数学,四年后考上中科院计算中心做研究生, 师从冯康教授。

在北京只呆了9个月,他就去英国留学。1982年11月起,他在剑桥大学应用数学与理论物理系攻读博士,师从优化领域POWELL派的开山鼻祖M.J.D. Powell教授。1986年获博士学位。1985年10月至1988年9月,他在剑桥大学菲茨威廉姆学院进行科研工作。

十年的时间,他从山村走出,在国内外转了一圈。1988年,他回到中科院计算中心工作。而这一切,都是因为对数学研究“极大的”兴趣。

读大学时,仅一门数学分析,他就做完了吉米多维奇《数学分析习题集》上的4000多道题;12个人的喧嚷宿舍,玩牌打闹前他仍能照常躺在床上看书学习。

“不是什么重要做什么,而是做自己感兴趣的事。但一定要认为自己做的东西很重要。”在袁亚湘看来,只有对科研发自内心的感兴趣,才能做出真正“纯洁的”研究。

誓要登顶 力求最优化算法

“会当凌绝顶,一览众山小。”正如爬山时的激情和毅力,袁亚湘在寻求算法的优化时,也有着“誓要登顶”的决心。

优化算法的要求是希望通过迭代逐步搜索到最优解。上世纪80年代兴起的信赖域方法,在过去的20多年中一直是非线性优化的学科前沿和研究热点。

许多约束优化的信赖域法在每一步迭代时都要求解由国际著名优化专家所提出的Celis-Dennis-Tapia(CDT)子问题。因此,在理论上深入理解该问题的性质,对有效求解及构造高效的约束优化信赖域方法起到关键作用。

为此,袁亚湘建立了CDT子问题的最优性条件,并证明其拉格朗日函数的海色阵最多只有一个负特征值,从本质上改进了利用著名的Kurn-Tucker定理仅能证明的海色阵最多只有二个负特征值的结果。

同时,他还在只有一个约束积极的特殊情况指出海色阵的确可能有一个负特征值,这一结果不仅颇出人意料(因为单球问题的著名More-Sorensen定理可保证海色阵半正定,从而无负特征值),同时也说明了上述结果已不可能再加以改进。这就为CDT子问题的最优化理论奠定了基础。

袁亚湘在证明最优性条件时所给出的关于矩阵对的引理,后来进一步为一些欧洲学者所研究和推广,他们在文章中及标题上并用了“袁的择一性定理”的提法。随后,法国著名分析与优化专家Hiriart-Urruty在SIAM Review上的综述文章中还将袁亚湘的这一结果能否推广到多矩阵的情形作为公开问题提出。

Steihaug-Toint(ST)方法是在球内求解二次函数极小的截断共轭梯度法。这个方法效果非常好,被国际上广泛应用,但对其解的好坏却没有理论上的明确估计。

袁亚湘通过计算发现该方法对二维问题(N=2)能使目标函数下降至少达到最优下降的一半,在1997年国际数学规划大会上给出了有关的证明,并猜测这一结论对一切维数N都成立。

由于ST方法有广泛的应用,这一叙述简洁明了的猜测很快引起了国际上许多著名学者的关注。美国华盛顿大学Tseng教授通过深入研究,证明了ST方法所求出的解可使目标函数下降至少达到最优下降的三分之一。袁亚湘通过引入带参数的共轭梯度路径这一新的分析技巧,以简洁的形式最终证明了这一猜想。他的这一结果及证明连同所需的一系列引理,均被国际上第一本关于信赖域方法的专著所收录,并明确这是由袁亚湘所作出的猜想。

此外,袁亚湘与导师Powell合作提出了利用光滑评价函数的约束优化信赖域法。他还独立提出了一个利用无穷范数罚函数的信赖域法,被国外著名学者推广到整数规划。

最近,他和学生还提出了一个新的仿射变换(Scaling)技术,导出的新的信赖域方法对求解界约束优化问题优于Matlab的嵌入函数fmincon。

荣誉加身 推动应用数学走向国际

多年在数学领域的摸爬滚打,也让袁亚湘诸多荣誉加身。

1999年,他曾应邀在英国爱丁堡举行的第四届国际工业与应用数学大会上作大会报告,2014年,在韩国首尔举行的国际数学家大会上作45分钟邀请报告。

他著有学术专著四部(其中一部已经在施普林格出版英文版),发表学术论文百余篇。1985年在英国伦敦,他曾获首届青年国际数值分析奖(L.Fox)奖二等奖,1991年被国家教委、人事部表彰为“有突出贡献的回国人员”,1995年获首届“冯康科学计算奖”,1996年获第三届“中国青年科学家奖”,1998年获“中国十大杰出青年”称号,2004年获北京市科学技术一等奖,2005年获中国科协“全国优秀科技工作者”称号,2006年获国家自然科学二等奖(排名第一),2011年获中国数学会“陈省身数学奖”。2011年先后当选美国工业与应用数学会会士(Fellow)和中国科学院院士,2012年当选美国数学会首届会士,2014年获发展中国家科学院(原第三世界科学院)数学奖,并当选巴西科学院通讯院士。

在20世纪最重要的计算方法之一、在气象、油田等领域大规模优化问题中有着重要作用的拟牛顿法领域,袁亚湘也对该方法的理论性质研究做出了不小的贡献。

著名数学家、英国皇家学会会员、拟牛顿法的先驱之一鲍尔教授曾在1976年证明了BFGS方法的收敛性,被认为是拟牛顿法理论最重要的成果,但此后多年一直没有本质上的进展。

袁亚湘合作研究了一簇拟牛顿法,该凸簇的拟牛顿矩阵是BFGS和最早提出的拟牛顿法DFP的拟牛顿阵的凸组合。他与合作者证明了当组合系数θ∈[0,1)时,拟牛顿法均全局收敛。在θ=0的特殊情形,对应于鲍尔的结果,从而对其作了极大的扩充,唯一的例外是θ=1时的DFD方法。

该结果在1988年国际数学规划大会上得到大会报告人舒纳伯的详细介绍,并将其列为80年代无约束优化的两个重要工作之一。有关结果被收录于爱思唯尔出版社出版的《运筹与管理科学手册》第一卷。

1992年在剑桥大学出版的综述论文集Acta Numerica中著名的优化专家Nocedal提出了两个关于拟牛顿法的公开问题,其中之一是“DFP法对强凸函数是否收敛?”这是包括鲍尔在内的许多国际著名优化专家一直关心的一个重要问题。

由于DFP是最早提出的拟牛顿法,这一公开问题显得更为重要。袁亚湘在某些特殊假定(梯度范数单调或步长和有界)下证明了DFP方法的收敛性,至今仍是关于该公开问题的最好结果。

袁亚湘还提出了利用拟牛顿阵之平方来分析拟牛顿法收敛性的独特技巧,为解决此难题开拓了一条新路。此外,袁亚湘还提出了一个改进的BFGS方法,发展了弱拟牛顿法。

在求解超大规模优化问题的非线性共轭梯度法方面,上世纪五六十年代,欧美和前苏联的一些著名数学家提出了多种非线性共轭梯度法。但是在这些著名方法的算法设计和收敛性分析中,往往要求步长需由精确搜索得到或满足强沃尔夫搜索条件。

袁亚湘和他的学生戴虹合作提出了一个新的非线性共轭梯度方法。在理论上,该方法在标准沃尔夫搜索下,即可保证在每一步产生下降迭代方向,且在较弱假定下就可保证全局收敛性;而在计算上,该方法还有良好的自调节性质。

这一方法已被国际同行称为“戴袁方法”。

美国的著名共轭梯度法专家在综述文章中将“戴袁方法”与HS、FR及PRP这三个方法一起认为是四个主要的非线性共轭梯度法。他写道:“戴和袁……在非线性共轭梯度法方面取得了好几个重要的进展。……这些结果为缩小前述理论与实验之差距迈进了一大步。”“戴袁方法”还与前述三个方法一起作为重要的非线性共轭梯度法被收录进克鲁沃出版社出版的《优化百科丛书》。

“戴袁方法”的提出同时也引发了对共轭梯度法进一步研究的热潮,后续研究者中包括著名优化专家、施普林格杂志《计算优化与应用》的主编黑格教授等。

同时,袁亚湘也是最早开展求解超大规模问题的非线性优化子空间方法的系统研究,在子空间拟牛顿信赖域法、非线性方程组子空间法等方面均取得了开拓性的成果,他因此被邀请在2014年国际数学家大会上作45分钟报告。■

(责编:倪伟波) 

 
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