■本报记者 韩扬眉

近日，中国数学家王虹因证明了三维挂谷猜想等成果而荣获国际数学界最高奖“菲尔兹奖”，这一消息引发了公众对于数学猜想与证明极大的兴趣。什么是猜想？什么是证明？二者的重要性分别在哪儿？《中国科学报》记者采访了北京应用物理与计算数学研究所研究员苗长兴。

什么是猜想

猜想是在数学研究中，数学家通过一些范例与现象观察到了某种稳定规律，尽管目前尚无法穷尽所有情况、从数学层面给出严谨推导过程，却“推测”该规律普遍成立。于是，这个待验证的“推测”就形成了一个“猜想”。

比如，哥德巴赫猜想认为，任意一个大于等于4的偶数都可以分解为两个素数之和。一般来讲，对于任意固定的有界偶数，通过计算机可以验证上述事实成立。但无法穷尽所有的偶整数，这就是哥德巴赫猜想。

对猜想而言，只要举出一个反例，就形成了证伪，说明该猜想不再成立。通常来讲，会用第一个提出猜想的数学家来命名该猜想，比如挂谷猜想是由日本数学家挂谷宗一提出的；黎曼猜想是德国数学家伯恩哈德·黎曼提出的……

猜想的提出常常依赖数学家的推理与直觉。根据问题的重要性、对不同数学领域的影响、解决猜想而发展的数学方法等，来区分猜想类型与层级。因此，并不是所有的猜想都有同样的价值。

猜想的重要性

如何判断一个猜想是否重要呢？一个重要的考量因素是猜想的影响力。例如，如果一个猜想仅仅局限在某一个课题，意义就没有那么显著；若一个猜想与数学的若干领域密切相关，影响多个数学分支的发展，那它的意义非常大。如果猜想不成立，会直接动摇已有的数学认知或颠覆一个研究框架体系，那就意味着它是一个“基础或基石性”的猜想。

挂谷猜想之所以重要，是因为它属于调和分析领域四大猜想的基石与根基。更准确地说，如果挂谷猜想不成立，调和分析“猜想之塔”上的3个著名猜想（Local Smoothing、Bochner-Riesz、Fourier Restriction）就不可能成立。

当然，对挂谷猜想等一些著名猜想重要性的认识是一个渐进的过程。在挂谷猜想提出约50年后的1971年，美国普林斯顿大学数学家查尔斯·费弗曼首次深刻揭示了挂谷猜想与调和分析（傅里叶分析）之间的内在联系，由此数学家才逐步发现其蕴藏的巨大价值。费弗曼本人也于1978年荣获菲尔兹奖。

又如，曾经被称作“最难数学问题”的费马猜想，是1637年法国数学家皮埃尔·德·费马在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》时在书页边缘写下的：对于任何大于2的整数n，方程xn+yn=zn没有正整数解。该猜想历经350余年，在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。费马猜想的证明过程融合了现代数学的多个前沿领域，涉及代数数论、椭圆曲线和模形式等。由于1998年国际数学家大会召开之时，怀尔斯已超过40岁，不符合菲尔兹奖的年龄限制，国际数学联盟给他颁发了特别制作的菲尔兹奖银质奖章。

证明的重要性

解决猜想的过程，就是证明。它需要严格、完整的推导过程。只有在逻辑上证明不可能为假时，才能认为猜想被证明了。而猜想一旦被证明，就成了定理。但只要存在一个反例，猜想就被否定，这就形成一个证伪。

数学证明有许多方法：归纳法、反证法……王虹与合作者约书亚·扎尔证明三维挂谷猜想，综合了反证、分类归结及源于不同数学领域的新方法。

著名猜想不仅结论本身具有数学挑战性，在解决猜想的过程中，数学家还能创造出新方法、新理论、新研究框架，甚至衍生出独立的数学学科分支。

这些新的数学理论与方法在解决其他数学物理问题上发挥重要作用，推动整个数学学科发展，这是最重要的价值所在。例如，王虹与约书亚·扎尔把投影理论、和积定理、粘性结构等引入挂谷猜想的研究，改变了挂谷猜想及调和分析其他核心猜想的研究框架，推动了现代调和分析及相关领域的发展。

总的来说，数学家提出猜想没有统一标准，猜想的重要性也千差万别。但是猜想变成定理的标准是统一的——需要严格的数学证明，即完整严谨的逻辑推导。