1、论文题目：

Interface Laplace Learning: Learnable Interface Term Helps Semi-Supervised Learning

Tangjun Wang, Chenglong Bao, Zuoqiang Shi

2、引用信息：

Interface Laplace Learning: Learnable Interface Term Helps Semi-Supervised Learning. (2026). CSIAM Transactions on Applied Mathematics, 7(4), 686-714. https://doi.org/10.4208/csiam-am.SO-2024-0064

3、文章介绍：

近年来，利用大量标注样本的机器学习方法在许多领域都取得了成功，例如图像识别、目标检测、语音识别等。然而，收集高质量标签往往需要较高代价，导致标注样本的获取成本远高于无标注样本，特别是在金融、军工、医疗等数据敏感或专业门槛较高的领域。半监督学习正是为了解决这一问题而提出的学习范式：在只有一小部分有标注样本和大量无标注样本的情况下，如何同时充分利用二者蕴含的信息来训练模型。特别地，当标注率极低时，问题的难度会进一步加大。半监督学习领域中的传统方法，在此类极低标注率情形下容易给出接近无信息的退化解，从而导致模型性能显著下降。

本文挑战了半监督学习领域中长期沿用的全局光滑性假设。该假设认为，相似的数据点应当具有相似的预测值，因此预测函数应当在整个数据图结构上保持光滑。然而，从分类问题本身来看，不同类别之间应当存在界面。如果使用微分方程的观点来建模，那么方程的解不应在所有位置都保持全局光滑，而应允许在类别交界处出现不连续跳变。基于这一观察，本文提出界面附近的非光滑性正是分类问题中需要刻画的重要结构。

围绕这一思想，本文进一步设计了完整的算法框架，包括：（1）利用图结构信息估计可能的界面位置（2）从少量标注样本中自动学习界面项，无需人为指定界面项的具体形式（3）将训练过程转化为带正则的最小二乘问题，从而得到高效的、无需梯度迭代优化的闭式训练算法。相比传统方法，本文不仅保留了基于图结构的半监督学习充分利用无标注数据结构信息的优点，也有效缓解了极低标注率下由过强光滑性假设带来的退化现象。实验结果表明，本文方法在极低标注率的半监督分类任务中具有明显优势。在MNIST手写数字数据集上，当每个类别仅有1个标注样本、总体标注率仅为1/7000时，本文方法仍然实现了超过93%的分类准确率。本文方法也有望应用于其他仅有极少量标注数据的问题中，例如小样本学习、图节点分类，以及深度自监督学习的下游任务等，具有广泛的应用前景。

图 1 左图：仿真二分类数据 右图：图拉普拉斯算子在类别交界处非零，反映出界面附近的非光滑结构。

4、作者简介：

王汤军：香港大学数学系博士后，主要从事深度学习的微分方程建模，图结构半监督学习，非局部模型算法研究。

包承龙：清华大学丘成桐数学中心副教授，北京雁栖湖应用数学研究院双聘研究员，主要从事冷冻电镜中的图像处理，大规模优化算法研究。

史作强：清华大学丘成桐数学中心教授，北京雁栖湖应用数学研究院双聘研究员，主要从事微分方程与机器学习，非局部模型理论与算法研究。

5、期刊介绍：

《CSIAM Transactions on Applied Mathematics》（CSIAM-AM）是中国工业与应用数学学会的旗舰期刊。该期刊发表应用数学、计算数学或科学计算领域的高质量原创研究论文。CSIAM-AM由学会理事长、浙江大学求是讲席教授包刚院士担任主编，学会副理事长、北京大学北京国际数学研究中心张磊教授担任总编辑。6月17日，科睿唯安（Clarivate Analytics）发布2026年期刊引证报告（JCR2025），该刊最新影响因子为1.1。

期刊官网：https://global-sci.org/index.php/csiam-am。

《CSIAM Transactions on Applied Mathematics》欢迎大家积极投稿，投稿网址: https://ef.msp.org/submit_new.php?j=csiam_am。