论文标题：Quantum Classical Algorithm for the Study of Phase Transitions in the Hubbard Model via Dynamical Mean-Field Theory

论文链接：https://www.mdpi.com/2624-960X/7/2/18

期刊名：Quantum Reports

期刊主页：www.mdpi.com/journal/quantumrep

导语

强关联电子系统是凝聚态物理中最富挑战性的研究领域之一。路易斯安那州立大学Anshumitra Baul等人发表于Quantum Reports的研究提出了一套完整的技术方案，将量子计算、动力平均场理论与量子机器学习相结合，用于研究哈伯德模型中的金属-绝缘体相变。该工作为利用近期噪声中等规模量子设备研究强关联系统提供了可行的技术路线。

一、动力平均场理论与双体位点近似

动力平均场理论（DMFT）自上世纪90年代以来已成为研究强关联系统的重要理论工具。该方法将复杂格点模型映射为单个杂质问题，用有效频率相关的平均场替代其余晶格自由度。在无限维极限下这一映射是严格的，对有限维度则构成一种可控近似。

为进一步简化计算，Potthoff于2001年提出双体位点DMFT方案。该方案仅用一个杂质位点和一个代表浴的位点构成最小模型，杂质与浴位点之间通过跳跃参数V耦合。在DMFT自洽迭代中，V被更新以满足准粒子权重关系V = √Z，其中Z为准粒子权重，表征费米能级附近准粒子的相干性。当电子关联增强时，Z减小，有效质量增大，最终系统从金属态过渡到莫特绝缘态。

二、量子算法实现

将双体位点DMFT移植到量子计算机上需要经过若干关键步骤。作者采用Jordan-Wigner变换将费米子算符映射到自旋算符，最终使用四个系统量子位（不含辅助位）表示两体位点的自旋向上和向下信息。系统哈密顿量被改写为泡利算符的组合形式，便于在量子线路上实现。

系统基态通过变分量子本征求解器（VQE）获得。作者采用了一个包含8个单量子位旋转门和3个CNOT门的变分线路，通过经典优化器调整旋转门参数使哈密顿量期望值最小化。该变分线路形式在不同相互作用强度U下保持固定，尽管其对不同参数区域未必最优，但保证了整个计算过程的一致性。

杂质推迟格林函数的测量采用单量子位拉姆齐干涉仪方案。引入一个辅助量子位与系统量子位构成干涉测量线路，通过测量特定关联函数获得实时间域格林函数。随后在经典计算机上对实时间格林函数进行拟合，提取出频率域信息。

在混合量子-经典系统上实现的双体位点 DMFT 计算流程图。

三、准粒子权重计算方法的改进

双体位点DMFT中一个核心计算问题是准粒子权重的提取。自能Σ(ω)通过Dyson方程Σ(ω)=G0^-1(ω)-G_imp^-1(ω)获得，但有限位点系统中格林函数仅包含离散的δ函数，使得频率域自能计算对展宽参数高度敏感。

该研究提出了一种改进方法：直接在时间域求解Dyson方程。由于双体位点系统的自能具有解析形式Σ(ω)=γ₀+γ₁/(ω-ω₁^s)+γ₂/(ω-ω₂^s)，在粒子-空穴对称条件下满足γ₁=γ₂且ω₁^s+ω₂^s=0。作者通过在时间域拟合自能参数，避免了频率域中展宽参数选择的任意性，且该方法可自然推广至多位点浴情形。

计算结果显示，准粒子权重Z随U增加从1单调递减，在U ≈ 6t附近发生显著变化。双体位点DMFT给出的解析关系Z = 1/(1+U²/36V²)与数值结果定性一致。

四、纠缠熵作为相变指示器

除了准粒子权重，作者还考察了杂质位点与浴位点之间的纠缠熵S_en = -Tr[ρ_imp log ρ_imp]。在非相互作用极限U=0时，杂质位点四种可能状态等概率出现，纠缠熵达到最大值2。随U增大，跃迁过程受限，纠缠熵逐渐减小。在大U极限下，系统进入莫特绝缘相，杂质与浴位点几乎退耦合，纠缠熵趋近于零。该特征在U≈6t附近表现出明显变化，与准粒子权重的临界行为相一致。

五、量子卷积神经网络用于相分类

作者进一步提出用量子卷积神经网络（QCNN）对DMFT输出的基态波函数进行分类，以识别金属相和莫特绝缘相。QCNN是经典卷积神经网络的量子类比，包含卷积层和池化层，交替作用于量子位之间直至将信息压缩至单个量子位。

研究采用监督学习方案。对于每一个U值，DMFT自洽计算收敛后得到系统基态波函数，标签根据已知相图设定：U<6t为金属（标签-1），U>6t为莫特绝缘体（标签+1）。共生成200个数据点均匀分布在0

训练设置分为两种情形。第一种随机选取80%数据用于训练，其余20%用于测试。结果显示训练和测试准确率均达到75%左右，损失函数在训练过程中稳定下降。预测标签在U≈6t处从负值跨越到正值，与已知临界点一致。

第二种情形更具挑战性：训练数据仅包含U≤4t和U≥7t的样本，测试数据则来自中间区间[4t,7t]。尽管训练准确率达到75%-80%，但测试准确率明显低于随机训练情形。预测标签在U∈[5t,6t]区间内接近零，表明QCNN在缺乏临界区域数据时仍能大致定位相变区间，但无法精确给出临界点位置。这一现象与经典机器学习在相变检测中的行为类似——当训练数据远离临界点时，模型仍能识别出不同相的特征，但对临界区域的分类不确定性增加。

六、方法比较与技术优势

与传统量子蒙特卡洛方法相比，该混合量子-经典方案具有几个特点。其一，VQE直接获得零温度基态波函数，而量子蒙特卡洛通常工作于有限温度。其二，时间域格林函数计算避免了解析延拓问题，这对提取低能物理量尤为重要。其三，自能参数化拟合方法不依赖额外的展宽参数，提高了数值稳定性。

与直接使用经典机器学习处理量子数据相比，QCNN的优势在于输入数据是天然的量子态（VQE线路输出的波函数），无需将量子态转换为经典数组再输入神经网络，避免了指数级数据膨胀。

七、现状与展望

当前研究基于量子模拟器而非真实量子硬件运行。实际部署到NISQ设备时将面临若干挑战。深层的Trotter演化线路会引入门操作噪声，影响长时格林函数的测量精度。此外，优化过程依赖经典计算机，量子-经典通信开销和迭代收敛速度也是实际应用中的制约因素。

从理论层面看，双体位点浴是对连续谱的粗糙近似。对于莫特转变这类临界现象，增大浴位点数量可能改变临界指数等普适类行为。作者提出的时间域自能拟合方法在原理上可推广至多位点浴，但实际计算中随着位点数增加，变分线路深度和优化难度将显著上升，仍需进一步研究。

量子机器学习用于相变检测的一个潜在优势在于不依赖序参量的先验知识。某些强关联系统（如重费米子材料中的隐序相）缺乏明确的序参量，传统相变检测方法难以适用。若能通过QCNN从波函数中直接学习相分类，将为这类问题提供新的解决思路。

八、结语

该项研究展示了如何将DMFT、VQE与QCNN三个工具整合为一个完整的工作流程，用于研究强关联系统的量子相变。尽管当前受限于小尺寸浴近似，但该方法在原理上具有可扩展性，并且完全适配于近期可实现的NISQ设备。随着量子硬件保真度的提升和量子位数的增加，这一技术路线有望在更复杂的强关联系统研究中发挥作用。

Quantum Reports（ISSN 2624-960X） 创刊于2019年，是一本国际同行评审的开放获取量子科学期刊，由 MDPI 每季度在线出版。发文范围囊括所有量子子领域，从基础量子理论到广泛的应用。Quantum Reports 目的是鼓励科学家尽可能详细地发表他们的实验和理论结果。因此，该期刊对论文的长度没有限制。应提供完整的实验细节，以便可以重现结果。截至目前，期刊已被Scopus、ESCI（Web of Science）等重要数据库收录。

Prof. Dr. Lajos Diósi

Editor-in-Chief

Wigner Research Center for Physics, Hungary

2024 Impact Factor: 1.3

2025 Citescore 2.7

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Acceptance to Publication: 3.7 Days