论文标题：Improving the Solving of Optimization Problems: A Comprehensive Review of Quantum Approaches

论文链接：http://www.mdpi.com/2624-960X/7/1/3

期刊名：Quantum Reports

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在金融投资、物流调度、通信网络、能源管理等众多领域，优化问题无处不在。无论是寻找最优投资组合，还是规划最短配送路径，其背后都离不开对“最优解”的孜孜以求。然而，随着问题规模的扩大，传统计算机在面对NP难问题时，常常陷入“组合爆炸”的困境。

如今，量子计算的兴起为优化领域带来了新的希望。近日，来自意大利都灵理工大学的Deborah Volp等人在Quantum Reports上发表了一篇题为“Improving the Solving of Optimization Problems: A Comprehensive Review of Quantum Approaches”的综述文章，系统梳理了当前利用量子方法求解优化问题的主要路径、工具与挑战，为我们揭开了量子优化的神秘面纱。

优化问题与量子“翻译官”

要将优化问题交给量子计算机处理，首先得“翻译”成它听得懂的语言。这就好比我们与外国友人交流，需要借助一门共同的语言。目前，量子优化领域最主流的两种“通用语言”是Ising模型和QUBO模型。

Ising模型最初源于统计物理学，用于描述铁磁体中的自旋行为。它将问题的变量映射为自旋方向（+1或-1），将目标函数转化为系统的能量函数（即哈密顿量），求解最优解就等价于寻找系统的最低能量状态。QUBO模型（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）则采用二进制变量（0或1），通过一个二次多项式来表达目标函数。两种模型之间可以通过简单的变量替换相互转化，因此在实际应用中常常并行使用。

无论是投资组合优化、物流路径规划，还是机器学习中的模型训练、通信网络中的用户调度，都可以转化为QUBO或Ising形式，再交由量子求解器处理。例如，在金融领域，可以通过QUBO模型构建投资组合，在最大化夏普比率的同时实现风险分散；在通信领域，可以将基站用户调度问题转化为QUBO形式，利用量子退火机快速求解。

然而，这一“翻译”过程并不简单。一篇完整的优化问题通常包含变量定义、目标函数和约束条件三个核心要素。在转化为量子兼容格式时，需要经历以下关键步骤：

1. 变量描述：将问题中的连续变量或离散变量转化为二进制形式，这往往需要引入编码机制，如二进制编码、One-Hot编码等，直接影响了求解精度与资源消耗的平衡。

2. 目标函数构建：将原问题的目标函数改写为多项式形式，可能需要进行函数近似或泰勒展开，这一过程可能引入误差。

3. 约束处理：约束条件是优化问题中最棘手的部分。在QUBO框架下，约束不能直接表达，必须通过罚函数的方式融入目标函数——即对违反约束的解施加能量惩罚。这一过程常常需要引入辅助变量，尤其对于不等式约束而言。更关键的是，罚权重的选择至关重要：权重过低，约束形同虚设；权重过高，则会“压平”目标函数，使有效解难以区分。

4. 多项式降阶：如果原问题自然呈现为高阶多项式（如PUBO或HUBO形式），而所选求解器仅支持二阶QUBO，则需通过引入辅助变量进行降阶处理，这又会进一步扩大搜索空间。

由此可见，从实际问题到量子可解格式的转换，每一步都充满了技术挑战，对用户的专业素养提出了较高要求。幸运的是，近年来涌现出一批自动化工具，如PyQUBO、QUBO.jl、qubovert、AutoQUBO、MQT-QAO等，帮助用户将实际问题高效地映射为量子可解的形式。这些工具不仅简化了变量编码和函数重写过程，还提供了约束惩罚的辅助功能，大大降低了量子优化的入门门槛。其中，D-Wave公司还推出了专门的预处理工具链，用于减少QUBO变量数量、估计目标函数下界，进一步提升了求解效率。

两条路径：量子退火与量子电路

在硬件层面，量子优化主要沿着两条技术路线发展：量子退火机和量子电路模型。

1. 量子退火机：专攻优化的物理引擎

量子退火是一种模拟量子隧穿效应的物理过程，其工作原理可类比为在能量景观中寻找最低谷。与传统模拟退火依赖热波动不同，量子退火利用量子隧穿效应，能够“穿透”高而窄的能量壁垒，这在处理复杂能量景观时具有独特优势。

D-Wave公司是这一领域的代表厂商。自2011年起，D-Wave持续推出量子退火机，其芯片上集成的量子比特数量已从最初的128个增长至如今的超过5000个。在拓扑结构方面，D-Wave经历了从Chimera（单比特连接度为6）到Pegasus（连接度15），再到最新Zephyr（连接度20）的演进，连接性不断增强，使得复杂问题的映射效率显著提升。

然而，量子退火机并非万能。由于硬件拓扑结构的限制，一个“逻辑比特”往往需要拆分为多个“物理比特”进行映射（即minor embedding技术），这会导致资源消耗急剧增加。此外，对于宽而平坦的能量区域，量子退火的效果反而不如经典算法。

为应对这一局限，D-Wave近年来推出了混合求解器，将问题分解为若干子问题，分别交由经典计算机和量子退火机处理，再整合为全局解。同时，反向退火技术也备受关注——它从一个已知候选解出发，通过逐步引入量子涨落，在解空间局部区域进行精细搜索，特别适合对已有方案进行优化改进。

2. 电路模型算法：通用量子计算的灵活之选

与专用退火机不同，基于量子电路的算法运行在通用量子计算机上，具有更强的灵活性和可编程性。这类算法多采用“量子-经典混合”架构，通过量子电路生成候选解，再用经典优化器调整电路参数，逐步逼近最优解。目前主流的电路模型算法包括：

• QAOA（量子近似优化算法）：该算法通过离散化绝热演化过程，构建参数化量子电路。它将问题哈密顿量与混合哈密顿量交替作用于初始态，通过经典优化器优化参数，使系统最终处于低能态。QAOA的优势在于其结构清晰、与Ising模型天然契合，且可以通过增加电路深度（即p值）来提高求解精度。研究表明，对于自然呈现为高阶多项式的问题，直接采用PUBO形式而非降阶为QUBO，不仅能避免引入辅助变量，还能提高求解精度并缩短参数优化时间。

图1. 量子近似优化算法（QAOA）量子电路示例。

• VQE（变分量子本征求解器）：VQE最初是为量子化学中的分子能级计算而提出的，但同样适用于优化问题。它利用变分原理，通过参数化量子电路（ansatz）制备试探态，测量期望值后由经典优化器更新参数，逐步逼近目标哈密顿量的基态。VQE的适应性极强，可以通过调整ansatz结构来平衡表达力（能到达的量子态范围）与可训练性（参数优化难度），特别适合在NISQ（含噪中等规模量子）硬件上运行。

图2. 变分量子本征求解器（VQE）示例。

• GAS（Grover自适应搜索）：该算法基于Grover搜索的加速优势，采用迭代逼近的方式寻找目标函数最小值。在每一轮迭代中，算法通过量子字典将目标函数编码为量子态，再利用Grover相位翻转和扩散算子放大满足条件的负样本，逐步逼近最小值。GAS的优势在于可以直接处理带有约束的优化问题（PCBO），将约束嵌入相位算子而非罚函数，从而避免了罚权重选择的难题。

图3. Grover自适应搜索（GAS）直观方案。

挑战与前景：从噪中等规模量子计算机（NISQ）到容错量子计算机（FTQC）

尽管量子优化前景广阔，当前仍处于含噪中等规模量子时代，量子比特数量有限、噪声干扰严重、硬件拓扑受限、相干时间短暂等问题依然突出。这些硬件限制不仅影响求解精度，也制约了算法深度的扩展。

此外，问题映射过程中的变量编码、罚函数设计、参数调优等环节仍需大量人工干预，对用户而言门槛较高。尤其是在罚权重的选择上，缺乏系统性的理论指导，往往依赖经验或反复试验。对于不等式约束的处理，引入辅助变量也会使问题规模膨胀，进一步加剧资源消耗。

但正如这篇综述所指出，混合量子-经典方法正成为破解当前硬件瓶颈的关键路径。通过将问题分解、结合经典启发式算法与量子加速模块，研究者们已在交通调度、电网优化、卫星任务规划、金融投资组合等实际场景中取得初步成效。例如，在电网管理领域，研究人员利用量子退火机优化分布式能源的调度方案；在卫星通信领域，QUBO模型被用于用户调度优化，显著提升了系统性能。

展望未来，随着量子硬件性能的持续提升，以及自动化工具链的不断成熟，量子优化有望在更广泛的行业场景中落地。而量子与经典方法的深度融合，也将催生出一批更具实用价值的混合优化算法，为解决现实世界中的复杂问题提供全新思路。

写在最后

量子优化并非“一夜之间取代经典计算”，而是以一种全新的方式拓展了求解复杂问题的边界。它既不是万能灵药，也不是遥不可及的空中楼阁——对于理解量子优化的问题表达、算法原理与工具生态，是抓住这一技术浪潮的第一步。

这篇综述不仅是一份技术指南，更是一座桥梁，连接着现实世界的优化难题与未来量子计算的无限可能。如果你正为某个优化问题苦恼，不妨也来看看，量子世界里是否藏着那把钥匙。在这个充满挑战与机遇的时代，量子优化的真正价值，或许正在于它迫使我们重新思考“什么是好的解决方案”这一根本问题。

Quantum Reports（ISSN 2624-960X） 创刊于2019年，是一本国际同行评审的开放获取量子科学期刊，由 MDPI 每季度在线出版。发文范围囊括所有量子子领域，从基础量子理论到广泛的应用。Quantum Reports 目的是鼓励科学家尽可能详细地发表他们的实验和理论结果。因此，该期刊对论文的长度没有限制。应提供完整的实验细节，以便可以重现结果。截至目前，期刊已被Scopus、ESCI（Web of Science）等重要数据库收录。

Prof. Dr. Lajos Diósi

Editor-in-Chief

Wigner Research Center for Physics, Hungary

2025 Impact Factor: 1.3

2024 Citescore 3.0

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Acceptance to Publication: 3.7 Days