近日，暨南大学崔金涛团队与山东大学高夫征团队合作，成功建立了一套面向抛物型偏微分方程的数值格式离散框架。相关成果发表于《非线性科学与数值模拟通讯》（Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation）。

偏微分方程是科学与工程计算中描述物理演化过程的核心工具，其中抛物型方程广泛应用于热传导、扩散过程及动态系统时间演化等问题的建模。数值求解抛物型方程的关键在于平衡计算精度与效率，特别是在长时间模拟或非均匀时间尺度问题中，固定步长离散策略往往难以兼顾数值稳定性与计算成本。后验误差估计作为自适应数值方法的重要组成部分，能够根据实际计算结果动态评估误差水平，并据此调整网格与时间步长，从而在次要区域降低计算消耗，在关键阶段提高求解精度。

研究团队采用弱Galerkin（WG）有限元方法进行空间离散，该方法通过引入弱梯度算子与离散弱导数，可在任意多边形或多面体网格上构造稳定且高精度的有限元空间，适用于复杂几何区域及局部网格加密场景。在时间离散上，团队采用变步长二阶向后差分（BDF2）格式。作为一种隐式多步法，BDF2格式具有二阶截断精度，并在特定步长比限制下保持A-稳定性，能够有效抑制长时间模拟中的非物理振荡并控制误差累积。该空间—时间离散组合充分发挥了WG方法的几何适应性与BDF2格式的高精度、强稳定性优势，为抛物问题构建了可行的自适应求解方案。

研究首先建立了数值格式的离散框架，分析了数值解的存在唯一性，并推导了基于残差的后验误差估计子。在此基础上，设计了相应的时空自适应算法，并通过系列数值实验进行了系统验证。实验结果表明，所构造的后验误差估计子在不同正则性条件下均表现出良好性能。

该研究将弱Galerkin方法的几何适应性与变步长BDF2方法的时间适应性有机结合，为抛物型问题的高效数值求解提供了新的可靠途径，同时也丰富了WG方法的理论体系与应用场景。

相关论文信息：https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2026.110065