近日，山东大学数学学院计算数学研究所在辐射输运方程的高效数值算法方面取得重要进展，两篇研究成果发表在计算力学顶级期刊《计算物理学报》。

辐射输运高效算法领域取得重要进展。    山东大学供图

辐射输运方程描述光子的Boltzmann方程，其在惯性约束聚变、天体物理、X光医学等领域具有重要的应用。辐射输运方程的高效、高置信度数值求解一直是国防科技领域的重要研究内容，美国、俄罗斯、英国、法国等世界主要核大国花费了大量的人力物力发展其辐射输运数值模拟能力。

数值求解辐射输运方程具有维数高（七维）、非线性强耦合以及多尺度等计算难点。蒙特卡罗算法是求解辐射输运方程的一类重要算法，其具有收敛速度不依赖于维数、物理建模精确、几何适应能力强等优点，特别适用于求解粒子输运、金融期货等高维模型。但是，为了得到物理上有意义的解，蒙特卡罗算法需要大量的样本进行抽样计算，这会导致传统蒙卡算法的计算效率较低，其计算效率问题一直是蒙卡算法的核心问题。

此次研究中，作者提出了一种宏观-微观耦合的多尺度蒙特卡罗算法，其通过沿特征线的积分形式构造宏观方程，利用宏观方程加速微观方程的求解。通过有限体积算法求解宏观方程，蒙特卡罗算法求解微观方程，发挥两种方法各自的优势。

理论上，通过渐近分析证明了新算法具有渐近保持性质，从而保证了网格剖分尺度不受粒子平均自由程的影响。数值算例表明，新多尺度算法的计算效率较传统的隐式蒙特卡罗算法具有量级的提升。

传统的隐式蒙特卡罗算法虽然可以保证在较大的时间步长下，满足计算稳定性。但是，对于较大的时间步长，其不能够满足极值原理，会引起数值振荡。这是困扰隐式蒙特卡罗算法的一个长期存在的问题。

针对传统的隐式蒙特卡罗算法不能满足极值原理的问题，作者分析了传统算法不能满足极值原理的原因，然后将Newton方法的思想引入到随机蒙特卡罗算法中，提出了一种保持极值原理的隐式蒙特卡罗算法，而传统的算法相当于新算法中的一步迭代。

理论上证明，新算法可以收敛到完全隐式的辐射输运方程。在计算效率上，由于新算法中的物质温度低于传统的算法，从而减小了散射项的系数，这使得每次蒙卡求解的计算量大大降低。通过数值试验，验证了新算法可以极大地提升传统的隐式蒙特卡罗算法的稳定性与计算精度。

研究得到了国家自然科学基金、计算物理国防重点实验室基金资助。

相关论文信息：

https://doi.org/10.1016/j.jcp.2023.112483

https://doi.org/10.1016/j.jcp.2023.112552