《云端脚下：从一元二次方程到规范场论》，曹则贤著，世界图书出版公司2021年7月出版，定价：99元

■姬扬

中国科学院物理研究所研究员曹则贤的新书《云端脚下：从一元二次方程到规范场论》描绘了数学和物理的演化路径。这本书前半部分是数学，后半部分是数学和物理，最后是数学物理中的瑰宝——规范场论。一端是从随便哪个中学生都知道的一元二次方程开始，另一端是即使理论物理学博士也犯怵的规范场论，两者差别可谓是判若云泥，从脚下直到云端，这就是书名的意思了。曹则贤说他写的是“一本视界垂直的书”。既然如此，他肯定不会要求评论者有什么水平了，那我就随便说说吧。

这本书显然不是专业性的学术著作，因为专业书籍都不会涉及这么宽泛的范围。在面向非专业读者的书里，这本书的写作风格比较特殊：里面有很多公式。当然，熟悉曹则贤的读者可能都知道，他写文章的时候从来不在乎公式，想用就用，这本书也不例外。

与他以前的书不太一样的是，这本书的每一章都像一篇学术文章，有题目、内容摘要、关键词（甚至还有关键人物），然后是分为几节的正文，最后是参考文献。但与普通的学术文章不同的是，他在正文里经常不谈正事，而是扯到东扯到西，净说一些看似不相关的东西，最后却总能回到当前的话题（当然，这个最后也许是几章以后）。

你可以把整本书当作一篇文章：第1章导言就是摘要，接下来的9章就是9大段的正文，“从一元二次方程到规范场论”这个副标题很好地描述了这本书的脉络：第2章就是《一元二次方程》，最后一章也即第10章就是《规范场论》。

这本书的大框架也好理解：从第2章到第6章都是解方程，还是一元方程，也就是说，只有一个未知数x。第n章就是解一元n次方程（n=2到6），乃至无穷（第6章讲了无穷阶代数方程）。这就是这本书的前半部分，全是数学的部分，直到把代数数扩展到整个实数，最后是代数基本定理。

后半部分开始涉及物理了。第7章是复数，引入了虚数，拓展了数域，讲了复数的意义和表示以及复数的数学应用，并把它导向了物理（包括振荡与转动，物理量的复数化、傅里叶变换以及复数在量子力学和相对论中的应用）。第8章开始，对我就有些难了，先是把复数视为二元数，然后超越复数，引入了四元数，延伸到八元数，再然后就到头了：因为有个胡尔维茨定理说，只有一元、二元、四元和八元数可以构成除法代数。

最后两章比较难，作者也说自己写得不容易。第9章群论讲了群的定义、基本性质、概念起源以及初步的群表示论，介绍了几种重要的群及其在物理学中的应用；第10章是规范场论，先讲物理学是怎么拼凑起来的（别问，问就是由天才的头脑拼凑出来的），然后是电磁理论、引力场论、规范场论和标准模型。坦白地说，我是基本上没读懂的——我以前学过一些，但一直也没有学明白，这次看了也许能让我知道当年为什么没有学明白，或许连这也不能。这大概可以说明，如果光看这本书的话，普通的读者恐怕也很难在很短的时间里学明白一些新东西。

那么，这样的一本书又有什么用呢？我想起了欧拉和高斯两位数学巨人，他们也都出现在这本书里。高斯写论文的时候，喜欢把思考的过程省略掉，只留下可以推出结论的过程。用他自己的话说，“当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净。”这当然有助于塑造自己的高大形象，但是却不利于后来者学习。欧拉则不同，他愿意保留所有的背景和细节，所以他的工作更容易理解，只要愿意，谁都可以学习。所以，两个人都是天才，但他们两个是彼此垂直的：高斯就高高在上，仿佛身处云端、不食人间烟火，而欧拉则脚踏实地，深处泥泞之中却仍然仰望星空。

现在的学习大多是很有功利性的。通常是，考什么就学什么，不考就不学，稍微好一些的是，用什么就学什么，不用就不学。即使有些人真的出于科学的好奇心去学习，又会发现很多作者都把书写得太漂亮、太酷了，仿佛拆掉了脚手架后的完美建筑，你只能崇拜他，却不知道从哪里学起。

曹则贤说这本书其实是自己学习过程中（特别是学习了大师们当年做工作的原始文献）做的各种笔记，记录了自己重新发现的隐藏线索和在此过程中的感受，为读者“指点许多个可能是门的地方”，希望这本书能让你“看到一条断断续续的从脚下到云端的小路，云端之上有更广阔的天地”。

我认为，曹则贤在这本书里，把一些早已拆掉的脚手架重新搭建起来，帮助读者更好地了解数学和物理的宏大建筑。最初的发明者搭建脚手架的时候，只能利用在此发明以前的工作，而这本书的作者则具有时间上的优势（毕竟他到这个世界上是晚了好久的嘛），可以从更高的观点看待更早期的工作，利用某个具体工作出现之后的历史发展，来阐发其深刻的意义。这样就大大减轻了读者的负担。

当然，他不仅仅是重新搭建了脚手架，还插入了很多花絮。比如说，20位著名数学家的照片，从花刺子模到杨振宁，中间有卡尔达诺、拉格朗日、哈密顿、格拉斯曼和维格纳，等等，当然还有天才少年阿贝尔和伽罗华。再比如说，在每章的开头都有一些名人名言，从老子、庄子到莱布尼兹和狄拉克，以及作者自产自销的论断——“一个受人尊重的民族，不妨为人类贡献一点儿数学和物理”。

这样一来，即使我们这样的一般读者，也可以从中发现一些乐趣。我们阅读这样一本连接了“云端脚下”的“垂直的书”，也许并不会落得一个“上求碧落下黄泉，两处茫茫皆不见”的结局吧。

（作者系中国科学院半导体研究所研究员）