■鲍海飞

音乐能够激发人的想象力和创造力，音乐与科学之间亦有紧密的联系、趣味、规律与奥秘。

在探索物质的本体（如由某种元素构成）、形式（外在表象）与抽象（模型和物理）的道路上，音乐成了一座最为直接、有效而敏感的桥梁，连接了三者，就如伽利略痴迷望远镜，望远镜成了仰望天空的重要工具一样。

人们触手可及的美妙乐器无疑提供了一种巧妙的科学实验工具，音乐里面包含着丰富的物理与数学甚至是感官的问题，通过音乐，通过琴弦揭示出音乐的内涵和本质，也揭示出那些隐藏在振动和波里面的自然奥秘。

17世纪之后，欧洲出现了许多著名人物加入到弦与波振动的理论研究中。达朗贝尔（1717—1783）是其中一个富有传奇色彩的人物。

达朗贝尔是法国数学家、哲学家和音乐理论家。达朗贝尔提出了波动方程以及虚功原理等，是牛顿力学的代表人物，较早地将偏微分应用到物理研究上，曾是《大英百科全书》数学和科学文章方面的编辑，工作了很长时间。

他一出生就遭到遗弃，幸运的是他被人收养，后被父亲找回又寄养在一对工匠夫妇的家里，并留给了他很多钱，让他受到较好的教育，不过他大部分数学知识是通过自学得来的。

他对音乐感兴趣，所以对弦的运动和规律也产生了兴趣，而这和他有个服务于法国上流社会的音乐理论家朋友菲利普·拉默有关。

有一次，达朗贝尔被邀请去审阅拉默的文章，他发现他们两人有关弦方面的研究和认识有许多相近的观点，对拉默大加赞扬。

拉默认为音乐是有关数学的科学，从中可以构建相关音乐的元素和规则，他还写了音乐方面的著述。达朗贝尔倡导拉默的观点，并发展自己的思想和理论，写了一本有关音乐和谐理论方面的文章。

1746年，达朗贝尔利用牛顿—莱布尼芝的微积分第一个给出了弦的微分波动方程以及由两个行波构成的解，他扩展了瑞士数学家约翰·伯努利的振动研究。行波解及其概念的意义深远，它也与伽利略变换所体现出的物理思想在某种程度上有许多相关性。

笔者在实践中更是切身感受到，在观察和描述波的产生和传播过程中，行波这一概念具有非常简洁、直观和实用的特点，便于观察、分析和研究。而傅立叶的时频变换分析可以更好地用来描述波的构成或组成成分。

自然的奥妙在于其内在的不谋而合。就是因为达朗贝尔在艺术与科学上广泛的兴趣，促成了他深刻的洞察力。一位名叫安竹·克鲁美的人评价说：“达朗贝尔一定是被拨弦古钢琴所触动，或许整个宇宙都由遵守一个方程的振动的弦构成。”

拨弦古钢琴是在键盘的尾端装有拨弦的装置，其拨弦的拨子是以金属薄片包裹皮革制成，也有使用禽鸟的羽翎作为拨片，故而这种琴也称羽管键琴。按动音键而拨弦，十指并用，可弹奏出音乐。

有人说，整个宇宙就是由弦构成的，于是创造了宇宙的超弦理论。

几百年来，先哲们承前启后，在琴弦上起舞，筑就了今天科学大厦的基石。

1673年，荷兰科学家惠更斯第一个给出了理想摆的数学周期公式。

1678年，英国物理学家罗伯特·虎克研究了弦的长短与频率的关系，写下了外力F与弹性系数k的关系表达式。

1687年，英国物理学家牛顿写下了力与加速度的关系方程。这成为经典力学研究物体振动运动方程分析的入手点。

1713年，英国数学家、音乐爱好者、泰勒级数的发明者布鲁克·泰勒给出了振弦的解，给出了基频的振型和频率。

1727年，约翰·伯努利发现了弦的振型，研究了重物作用下弦中的张力，得到了系统的固有频率是其刚度与质量之比的平方根。

1746—1747年，达朗贝尔首先建立了弦运动的微分方程并得到了一维波动方程的行波解。

1748 年，瑞士物理数学家、纯数学的奠基人、第一个写出了无阻尼下质量弹簧体系受迫谐振方程的欧拉提出了非连续导数的初值条件，从而得到了非光滑解。

1753年，丹尼尔·伯努利利用动力学得到弦振动的解为一系列简单振动谐波的叠加，即为傅立叶级数解的表示。这个振动解包含了无限多个振动的三角函数波。遗憾的是，他没有给出如何求解系数的方法。1807年，傅立叶在研究固体中的热导问题时，给出了具体的系数求法。此后，傅立叶级数的收敛性被证明。不同频率的谐波在空气中传播的速度相同，所以听起来不会出现“走音”的色散现象。

1759年，法国数学家约瑟夫·拉格朗日得到了振弦的解析解。

大道殊途同归。至此，有关弦振动的问题从数学的角度得到了较为全面清晰的解析和认识。

科学就是这样点点滴滴汇聚而成，凝聚成了一条源远流长的河流。看似简单的琴弦和其流淌出的韵律，引得无数人为之倾倒。大珠小珠落玉盘，人类的智慧构造出了自然本来的运动模样。

所有的理论都离不开实验工作。早在18世纪，一个叫约瑟夫·索沃的法国人，经过实验给出了对应谐波的弦振动的不同模态，尽管其本人当时并不知晓。

他发现，高频振动的频率是基频振动频率的整数倍，将其称之为谐波；他还发现两个乐器之间的拍频现象，以及一根弦的振动可以同时包含几个谐波的振动等，这也是听一根弦的振动依然悦耳的原因。他还命名了“声学（acoustic）”一词。实际上，拨动一根弦，其振动就同时包含了几个谐波振动的叠加，丹尼尔·伯努利给出了其证明。

低眉信手续续弹，说尽“弦学”无限事。谁还能轻视这一根纤细柔长小小的琴弦呢？

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