“勾三股四弦五”是大家耳熟能详的一句话，估计初中老师在介绍勾股定理时也会提到它。一个看似平平常常的定理不仅影响了我们的生活，也影响了科学的几乎每一个领域。在尼加拉瓜于1971年发行的一套纪念邮票上“十个最重要的数学公式”中便有勾股定理，不过外国人不叫勾股定理，而是叫毕达哥拉斯定理。

 

迄今为止，勾股定理的证明已有400多种，这在数学史上大概是绝无仅有的，堪称有史以来第一定理。

 

一个看起来并不复杂的定理怎么会产生400多个证明？19世纪中叶，一位名叫卢米斯的美国俄亥俄州数学教师搜集了370多种证明，并声称：“在中世纪，要求取得数学学位的学生必须提供毕达哥拉斯定理的原创证明，这激发了学生和老师们不断提供新的、有创意的证明方法。”真实的历史如何，似乎没有人考证过，有一本书的书名叫《勾股定理：悠悠4000年的故事》（作者：以色列数学家马奥尔），该书以勾股定理为线索，叙述了与之相关的重要历史事件，描述了欧氏几何、代数几何、微积分、黎曼几何以及爱因斯坦的相对论等领域的演变轨迹，不过很遗憾，我手头没有这本书。

 

说到勾股定理的证明，人们印象最为深刻的应该是一位总统的证明。那还是19世纪后半叶的事情，在美国华盛顿郊外的一个傍晚，俄亥俄州共和党议员伽菲尔德正陶醉在黄昏美景中，突然发现前面的两个小男孩时而争得面红耳赤，时而又低声说着悄悄话。伽菲尔德好奇地走向前去，问他们在争论什么。一个小男孩回过身来问他道：“先生，请问直角三角形一条直角边为3，另一条直角边为4，那么它的斜边是多少？”伽菲尔德不假思索：“是5啊。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德依然不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩再次问道：“先生，你能告诉我为什么吗？”伽菲尔德顿时语塞，他回答不了孩子的问题。伽菲尔德再没有心情散步，沮丧地回到家里苦思冥想了起来。他终于明白了其中的奥妙，给出了一个简捷的证明，并将他的这一证明发表在《新英格兰教育日志》上。伽菲尔德议员后来当上了美国总统，于是人们把这个方法称之为“总统”证法。

 

中国自古重视的是计算技巧，对几何似乎并不那么看重，然而在西方，几何是神圣的、美妙绝伦的。毕达哥拉斯认为世界是由整数与整数之比（即有理数）组成的，换句话说，用整数就可以解释世界了，这是毕达哥拉斯学派的哲学信条，勾三股四弦五正是整数的完美组合。毕达哥拉斯是古希腊最伟大的数学家，在几何学领域，他不仅证明了勾股定理，还发明了割圆术，证明了正多面体只有5种等。虽然今天我们知道不仅依靠整数解释不了这个世界，即使穷竭现有的一切数学手段也远远解释不了自然界。但在那个时代，谁敢对毕达哥拉斯学派的这一哲学信条提出质疑，必将遭到灭顶之灾。数学史上有桩著名的血案就发生在那个时代，毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现，直角边长为1的等腰直角三角形的斜边就不是整数，也不是整数与整数的比，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条与根基，毕达哥拉斯学派要求希帕索斯不得将存在根号2的秘密对外泄露。“祸从口出”自古皆然，希帕索斯无意中与别人谈到了根号2，这触怒了毕达哥拉斯学派，他们以触犯教规为由将希帕索斯装入口袋扔进了大海。希帕索斯为了揭示一个客观存在的真理付出了生命的代价，但真相终究是掩盖不住的，根号2的出现触发了历史上第一次数学危机。

 

如果故事到此结束，就真的有点文不对题了，事情远没有结束，不仅勾股定理在从古到今的数学、自然科学研究中发挥着极其重要的作用，与之相关的研究也从来没有停止过。费马是大家并不陌生的一位数学家，说他是数学家并不确切，因为在费马时代并没有职业数学家，数学是贵族的游戏，那时的数学家大多是律师、法官、神父、牧师，费马便是个法官。他酷爱数学，手边有一本书（书名记不清了），类似于习题集之类，他断案之余，便以解决这本书上的问题为乐。不过那时候的数学家对发表之类的事情不是那么感兴趣，很多结果都是通过书信往来公布于世的。有时候，你解决了一个问题，兴奋地给另一个数学家写信，不过信中也许不是告诉对方结果，而是向对方提出一个问题，如果他回答不了，你便得意洋洋地公布结果。费马那本书的最后一个问题与勾股定理有关，用代数方法描述勾股定理是指不定方程x2+y2=z2的整数解，如果把该方程中指数上的2换成大于2的整数n，即xn+yn=zn，方程是否仍然有整数解？费马在眉批上写道：“我发现了这个问题的绝妙解答，可惜纸张不够写了。”这句话折腾了数学界数百年，大家总想循着费马的足迹找到他所说的那个绝妙解答，但全都徒劳无功，最后大家不得不怀疑：“费马在吹牛。”这个问题直到上个世纪末才由普林斯顿的外尔斯彻底解决，外尔斯为了解决这个问题花了整整8年的时间，当他解决这个问题之后，已经过了不惑之年。众所周知，菲尔茨奖只颁给那些年龄不超过40岁的年轻数学家，然而，由于外尔斯的杰出贡献，国际数学联盟破天荒地给这位数学家颁发了一个菲尔茨特别奖。

 

闲侃到这里，来点真格的，有多少人能写出勾股定理的证明？找一个证明并不难，用小学生拼凑七巧板的方法就可以解决，具体地说，将四个全等的直角三角形用两种办法拼凑成边长均为两个直角边长之和的正方形就成，不必作过多解释，从图形一看便知。

 

几何表达：

 

《中国科学报》 (2012-05-11 A3 博客@科学网)