近日，暨南大学信息科学技术学院数学系副教授陈明娟团队与集美大学副教授陆玉锋团队合作，在四阶非线性薛定谔方程的整体适定性研究方面取得重要进展。相关成果发表于 《SIAM数学分析杂志》（SIAM Journal on Mathematical Analysis）。

该研究在模空间（频率一致分解空间）框架下，研究了完全可积的四阶非线性薛定谔方程的最优整体适定性，属于低正则性理论范畴。适定性理论关注解的存在唯一性及对初值的连续依赖性，是偏微分方程研究的核心问题；低正则性理论则旨在扩大初值的适用范围。

研究模型是经典非线性薛定谔方程的高阶推广，具有完全可积结构和无穷多守恒律，物理应用广泛。团队首先结合Strichartz估计、关键双线性估计及原子空间理论，在正则性指数s=1/2时建立了模空间中的局部适定性，并证明该临界值是最优的——当s<1/2时，初值到解的映射将失去一致连续性。在推导非线性估计时，团队通过双重双线性估计避免了高模定位的繁琐讨论。

随后，受Killip-Vi?an-Zhang关于完全可积方程几乎守恒律的工作启发，团队利用Lax对构造了不随时间变化的扰动行列式，借助该几乎守恒律获得模空间下的先验估计，从而完成了整体适定性的证明。

该研究的创新之处在于，将可积系统理论与调和分析技术有机结合，充分挖掘了复谱虚部带来的平移特性，而以往研究仅利用实值谱的伸缩效应。这一方法为解决偏微分方程中的经典难题提供了新思路，契合了国际数学前沿方向。

相关论文信息：https://doi.org/10.1137/24M1679914