近日，《美国数学会杂志》在线发表了武汉大学数学与统计学院教授刘会与合作者的最新研究成果。论文标题为“Proof of Hofer-Wysocki-Zehnder’s two or infinity conjecture”，研究成功证明了关于Hofer-Wysocki-Zehnder的二或无穷条周期轨道猜想和Bangert-龙以明的二或无穷条闭测地线猜想。

论文截图。武汉大学供图

该论文为刘会与美国马里兰大学的Dan Cristofaro-Gardiner、加州大学伯克利分校的Michael Hutchings以及德国亚琛工业大学的Umberto Hryniewicz合作发表。

据悉，切触流形上有一个自然向量场，称之为Reeb向量场，它生成流形上的Reeb流。而偶数维欧氏空间中紧星型超曲面是典型的切触流形，其Reeb流的周期轨道的存在性研究可以追溯至著名数学家Liapunov于1892年的工作，随后沃尔夫奖得主J.Moser、邵逸夫奖得主C. Taubes等许多著名数学家在该领域开展研究。1978年，P. Rabinowitz证明了紧星型超曲面上周期轨道的存在性；1979年，A. Weinstein根据该结果提出猜想：任意2n+1（n为正整数）维闭切触流形上存在周期轨道。

过去四十多年来，Weinstein猜想与Arnold猜想的研究极大促进了辛动力系统（几何）领域的发展，产生了Floer同调、辛场论等理论工具。2007年，C. Taubes对闭三维切触流形解决了Weinstein猜想；当流形是三维紧星型超曲面时，H. Hofer-K. Wysocki-E. Zehnder于1998年和2003年得到了比Weinstein猜想更强的结论：当三维紧星型超曲面是凸的或满足某种横截性和非退化条件，则存在恰好两条或无穷条简单周期轨道，并提出猜想：任意三维紧星型超曲面上存在恰好两条或无穷条简单周期轨道。

紧流形上闭测地线（局部最短闭曲线）的存在性研究可以追溯到1898年Hadamard和1905年Poincare的工作。随后，Birkhoff、Morse等许多著名数学家都致力过这方面的研究。1974年，D.V. Anosov在ICM报告中猜测：任意赋予Finsler度量的n维球面上至少存在2[(n+1)/2]条本原闭测地线。2004年, V. Bangert和龙以明对n=2证明了该猜想，并提出了更强猜想：任意二维Finsler球面上存在恰好两条或无穷条本原闭测地线。

刘会和合作者通过对具有有限条简单周期轨道的三维闭连通流形Y的挠切触形式进行非退化扰动，得到R×Y中一序列嵌入切触同调(ECH)指标为2的柱型J全纯曲线，其投影至Y上是相应Reeb流的Birkhoff截面, 其能量具有充分小一致上界并且其两条渐近周期轨道的旋转数具有良好控制，这一过程利用作者于2023年发展的退化情形的ECH指标理论和扰动技巧，及引进新的不变量等创新思想。在这关键一步的基础上，发现这一序列柱型J全纯曲线的正（负）末端以指数收敛速度趋向于渐近周期轨道，这促使作者通过一些紧性和横截性技巧得到原切触形式的Birkhoff截面，再利用Franks定理证明原切触流形上存在恰好两条简单周期轨道。

相关专家介绍，这一结论对挠切触形式证明了三维Reeb流的二或无穷猜想（强化版本的三维Weinstein猜想），其推论完全解决了Hofer-Wysocki-Zehnder猜想及Bangert-龙以明猜想。

相关论文链接：

https://www.ams.org/journals/jams/earlyview/#jams1072

https://arxiv.org/abs/2310.07636