先看一个生活中的例子。

王宏去医院作验血实验，检查他患上了X疾病的可能性，其结果居然为阳性，把他吓了一大跳，赶忙到网上查询。网上的资料说，实验总是有误差的，这种实验有“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有1%的人是假阳性，99％的人是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的人是假阴性，99％的人是真阴性。于是，王宏根据这种解释，估计他自己得了X疾病的可能性（即概率）为99%。王宏想，既然只有百分之一的假阳性率，那么，百分之九十九都是真阳性，那我已被感染X病的概率便应该是99%。

可是，医生却告诉他，他被感染的概率只有0.09左右。这是怎么回事呢？王宏的思路误区在哪里？

医生说：“百分之九十九？哪有那么大的感染几率啊。99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的正常比例是不大的，1000个人中只有一个人有X病。”

医生的计算方法是这样的：因为测试的误报率是1%，1000个人将有10个被报为“假阳性”，而根据X病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真阳性只有1个。所以，大约11个测试为阳性的人中只有一个是真阳性（有病）的，因此，王宏被感染的几率是大约1/11，即0.09(9%)。

王宏想来想去仍感糊涂，但这件事激发了王宏去重温他之前学过的概率论。经过反复阅读，再思考琢磨医生的算法之后，他明白了自己是犯了那种叫做“基本比率谬误”的错误，即忘记使用“X病在人口中的基本比例（1/1000）这个事实。

谈到基本比率谬误，我们最好是先从概率论中著名的贝叶斯定理【1】说起。托马斯·贝叶斯（ThomasBayes ，1701年–1761年）是英国统计学家，曾经是个牧师。贝叶斯定理是他对概率论和统计学作出的最大贡献，是当今人工智能中常用的机器学习之基础框架，它的思想之深刻远出一般人所能认知，也许贝叶斯自己生前对此也认识不足。因为如此重要的成果，他生前却并未发表，是他死后的1763年，才由朋友发表的。本篇将对贝叶斯定理稍作介绍，我们在本系列的后几篇，将讨论贝叶斯学派以及贝叶斯理论在人工智能中的应用。

初略地说，贝叶斯定理涉及到两个随机变量A和B的相互影响，如果用一句话来概括，这个定理说的是：利用B带来的新信息，应如何修改B不存在时A的“先验概率”P(A)，从而得到B存在时的“条件概率”P(A|B)，或称后验概率，如果写成公式便是：

这儿“先验后验”的定义是一种“约定俗成”，是相对的。比如说也可以将A、B反过来叙述，即如何从B的“先验概率”P(B)，得到B的“条件概率”P(B|A)，见图中虚线所指。

不要害怕公式，通过例子，我们能慢慢理解它。例如，对前面王宏看病的例子，随机变量A表示“王宏得X病”；随机变量B表示“王宏检查结果”。先验概率P(A)指的是王宏没有检查结果时得X病的概率（即X病在公众的基本概率0.1%），而条件概率（或后验概率）P(A|B)指的是王宏“检查结果为阳性”的条件下得X病的概率（9%）。如何从基本概率修正到后验概率的？待会儿再解释。

贝叶斯定理是18世纪的产物，200来年用得好好的，不想在20世纪70年代遇到了挑战，该挑战来自于卡尼曼和特维尔斯基（Tversky）提出的“基础概率谬误”（Base-RateFallacy）。丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934年－）是以色列裔美国心理学家，2002年诺贝尔经济学奖得主。基础概率谬误并不是否定贝叶斯定理，而是探讨一个使人困惑的问题：为什么人的直觉经常与贝叶斯公式计算的结果相违背？如同刚才的例子所示，人们在使用直觉的时候经常会忽略基础概率。卡尼曼等在他的文章《思考，快与慢》中举了一个出租车的例子来启发人们思考这个影响人们“决策”的原因。我们不想在这儿深谈基础概率谬误对“决策理论”的意义，只是借用此例来加深对贝叶斯公式的理解：

某城市有两种颜色的出租车：蓝和绿（市场比率15:85）。一辆出租车夜间肇事后逃逸，但还好当时有一位目击证人，这位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。但是，他“目击的可信度”如何呢？公安人员经过在相同环境下对该目击者进行“蓝绿”测试而得到：80%的情况下识别正确，20%的情况不正确。也许有读者立刻就得出了结论：肇事之车是蓝色的几率应该是80%吧。如果你作此回答，你便是犯了与上面例子中王宏同样的错误，忽略了先验概率，没有考虑在这个城市中“蓝绿”车的基本比例。

那么，肇事之车是蓝色的（条件）几率到底应该是多少呢？贝叶斯公式能给出正确的答案。首先我们必须考虑蓝绿出租车的基本比例（15: 85）。也就是说，在没有目击证人的情况下，肇事之车是蓝色的几率只有15%，这是“A=蓝车肇事”的先验概率P(A)= 15%。现在，有了一位目击者，便改变了事件A出现的概率。目击者看到车是“蓝”色的。不过，他的目击能力也要打折扣，只有80%的准确率，即也是一个随机事件（记为B）。我们的问题是要求出在有该目击证人“看到蓝车”的条件下肇事车“真正是蓝色”的概率，即条件概率P(A|B)。后者应该大于先验概率15%，因为目击者看到“蓝车”。如何修正先验概率？为此需要计算P(B|A)和P(B)。

因为A=车为蓝色、B=目击蓝色，所以P(B|A)是在“车为蓝色”的条件下“目击蓝色”的概率，即P(B|A)＝80％。最后还要算先验概率P(B)，它的计算麻烦一点。P(B)指的是目击证人看到一辆车为蓝色的概率，等于两种情况的概率相加：一种是车为蓝，辨认也正确；另一种是车为绿，错看成蓝。所以：

P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%

从贝叶斯公式：

可以算出在有目击证人情况下肇事车辆是蓝色的几率=41%，同时也可求得肇事车辆是绿车的概率为59%。被修正后的“肇事车辆为蓝色”的条件概率41%大于先验概率15%很多，但是仍然小于肇事车可能为绿的概率0.59。对王宏测试X病的例子，读者可以参考这儿的方法，不难得出正确的答案，作者就不再赘述了。