《微积分快餐》，林群著，科学出版社2009年8月出版，定价：25.00元

 

 

17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹建立了微积分学，它的标志是1687年牛顿的《自然哲学的数学原理》的出版。微积分学最早的名称是无穷小分析，出发点是直观的无穷小量。到了19世纪，柯西和外尔斯特拉斯将微积分学建立在极限的理论之上，又有了戴德金和康托所建立的实数理论，使极限理论有了巩固的基础，这才把微积分学严密化了。但这时距牛顿、莱布尼兹他们已经过去200年了。

 

这就是数学！它抽象、严谨，在逻辑推理上无懈可击。无怪西方人在谈论某件事时会说：“It’s mathematics!”（这是数学！）表明了这件事是确凿无疑，绝对错不了的，如同经过了数学证明一般。但数学的这种性质也给学习它的人带来了巨大的困难，许多学生对它望而生畏，他们不明白为什么有些看似显然的定理却还要费力地去证明，看不懂定理的证明，弄不清必要条件和充分条件，更是被“语言”弄得晕头转向，“有了为什么要找，到哪里去找啊！”所以无论中外，长期以来，微积分学的教育改革都是一件迫切的令人关注的事。人们希望微积分不但严谨，而且直观易懂，简易明快，能用较少的时间就能明白其原理，不但知其然而且知其所以然，不仅能得到数学家的认可，而且即使是非数学专业的大多数学生也能读懂。

 

中国科学院院士林群十几年来致力于微积分教育的探索和研究，多有文章作品发表，受到大学师生的欢迎，更为广大的中学生所接受。他为科学出版社的“走进教育与数学”丛书所著的《微积分快餐》一书，就是一本通俗介绍微积分学的好书。作者抓住了微积分学的核心和基本的数学思想，既浓缩了微积分的精华，又叙述得生动有趣、引人入胜。此书也正体现了作者化繁为简、化抽象为具体的风格。

 

在《微积分快餐》这本书中，作者通过对一条可微函数的曲线上的割线和切线的形象描述，分析了割线的斜率和切线的斜率，及两个斜率之差。斜率差是本书中一个主要概念。而在考虑某一区间上的两个端点处的函数值的差，作者称之为“高”的时候，先将该区间作一分割，然后在每个小区间上应用斜率差的概念来处理曲线的高和切线的高，分别求和后得出整个区间上曲线高的一个近似。作者发现这样做，总的相对误差正好是各个小区间上函数曲线的斜率差的算术平均。由于函数是可微的，所以只要区间足够小，就可以使区间上的斜率差任意小。这样至少是对于连续可微函数，作者轻易地得到了微积分学的基本定理：牛顿—莱布尼兹定理。这是作者探索微积分学教育改革的一个创新。作者自称：这是完整严格而又是最短的证明，可为广大的中学生所接受。

 

《微积分快餐》一书就是一本使用最少概念且努力做到自封的微积分学的普及读物。书中的许多论述很有新意。例如，自然对数函数的引入，作者就有别于通常的微积分学教科书中先要引入欧拉常数e的做法，而是先由积分导出了一个微分方程，再用差分法解它，得到常数e和以它为底的对数函数。如此安排，虽然占用了书中较多的篇幅，但从微积分学的角度来看，这种思路似乎更为自然一些。读者在学习并理解它的过程中会学习到微积分学中常用的一些技巧，这对于数学学习而言是会多有裨益的。

 

正如作者所言，这本书中没有太多太难的东西。作者提纲挈领地搭建了微积分学的主要框架，书中既有拉格朗日中值定理、求面积和曲线长的内容，也有泰勒展开定理的严格证明，甚至还讲述了一段和华罗庚大师探讨的佳话，书中还包括有多元微积分的内容，如此等等。作者借助于他深厚的数学功底，在书中涉及了诸如微分方程、差分方程等数学分支，甚至还笔触纵横，谈及了有限元方法、泛函空间，给出了施瓦兹、闵可夫斯基不等式等等，虽然严格地讲，有些内容已超出了传统微积分的范围，讨论也不深入，但这开阔了读者的视野，给勤于思考的读者提供了进一步学习的选择。所以本书虽是一本微积分的普及读物，但要全盘掌握书中的内容，读懂读通却也不易。读者若能掌握书中的精髓，多加思考，做到触类旁通，做到举一反三，就会有更大的收获，这也是作者所希望的。

 

纵观全书，自然也有不足自处，但瑕不掩瑜。书中似乎忽略了初学者的一些需要，例如常见函数导数的推导演算，积分法则的具体运用等都讲得比较少，如能多举一些实例，多有一些练习，特别加上应用，会加深读者的理解。以上几点仅供作者参考，希望这本书定位于中学生水平读者的微积分普及读物严谨、更充实，更受大家的欢迎。

 

《科学时报》 (2010-5-13 B2 科学 文化)