有些东西，仅仅因为它们是非主流，就失去了人们应有的重视和尊敬，然而它们并不会因此而沉默，只要有价值，它们的地位就不会被抹杀。在数学的历史中也有类似的例子，比如现在要说的维恩图，它的故事颇有深意。

 

的确，按照传统，维恩图现在并非数学研究的主流；也正因为如此，在数学的汪洋中它深居一隅，除了专业人士，少为人所知。和源远流长的勾股定理相比，它显得太年轻了，才130多年的历史；同时它似乎又不像庞加莱猜想、黎曼假设那样声名显赫。可是，有关维恩图的解决方法在尘封了如此之久才被人发现，又说明其本身就是一个困难的发现。1880年，维恩首次采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题，这一最初始的维恩图，却让逻辑学家着实兴奋了一阵子，甚至直到今天，还有许许多多的逻辑学家对它都怀有一种难以释怀的眷念。

 

这样的研究对象显然应在数学中谋有一席之地。而在它年轻的身世中，有着哪些不为人所知的曲折故事呢？英国统计学家爱德华兹教授对此深有感触，他不仅是维恩图的资深研究者，而且是维恩图神秘魅力的阐述者和最佳开拓者。《心灵的嵌齿轮》讲述的就是维恩图的故事。他从概括地讲述维恩的生平开始，进而讲到维恩在剑桥大学开设一系列有关逻辑符号的课程时所发现的三圆维恩图。在维恩图中，若每一类用一个圆表示，圆内区域被标记为1，圆外区域则为0。当n=3个类时，三圆交叠的维恩图就有8个区域。再引入一个类就会使区域的数量翻倍。但是，当用一根“与已存在的所有细分必定相交一次，且仅仅一次”的曲线在维恩图中引入新的类时，区域的翻倍是如何实现的呢？维恩作了很多努力，要把以自己名字命名的图形推广到多个集合中去。但是他搜索枯肠，也无法用4个相交叠的圆获得16个区域。他最后想到了以4个全等的椭圆来解决。但是对于n≥5个,他已经无能为力了。随着类的增加，应该怎么做？这就是本书探讨的一个主题。

 

爱德华兹在设计剑桥大学冈维尔和凯斯学院礼堂的彩色玻璃窗的过程中加入原始的三圆维恩图，以缅怀生前声名寂寞的维恩。随着研究深入，他迫切想找到一种只用简练优雅的对称图形来画任意集合的维恩图的方法。到了20世纪80年代末，解决这一百年难题的时机已经成熟。接下来的很多工作就是爱德华兹亲自完成的——正因为如此，他写了本书。

 

灵感来自锲而不舍的反复思考，爱德华兹最后几乎是在一刹那间得出了超过四集合维恩图的通用解法。这种方法提出的解决图形，酷似钟表里的齿轮，因此被冠名以“齿轮方法”。在那些弯弯曲曲的线条和曲线中，跳动着数学的激情和发现的喜悦，我们对此似乎伸手可及。毫无疑问，本书的书名“心灵的嵌齿轮”也就是因此而得来的。

 

当数学家的研究动力被激发以后，无论什么都不能阻止他停止研究。钻研得越多，发现也就越多；新的旁枝总会出现新奇的新事物。作者接着对构建完全对称的维恩图流连忘返，并成功地在其缤纷中斩获颇多。对称不仅仅具有美学上的优点，它还提供了对推理的帮助。作者进一步发现了维恩图和格雷码的精确对应关系；更奇妙的是，每给维恩图加一个集合，就可以给出二项式系数相加规则的形象表示，也就是说，维恩图是二项式系数的某种映射。接下来的深究中，我们就发现，维恩图成了一座桥梁，它揭示了深奥的正弦曲线与通常的二进制码的对应关系，同时也是多维空间中一个重要的研究对象——布尔立方图的二维映射。如今，维恩图在集论和逻辑学中已经获得了举足轻重的地位。维恩图就像所有的未知事物一样，它本来就在那里，人们探索得越深，它呈现的东西就越绚丽，如果维恩图能说话，它将以它的方式发言。

 

本书提供给我们的，不仅仅是维恩图的历史以及有关它的新发现；在字里行间，还洋溢着发现新事物、探索新事物之后的激情和喜悦，那些情感发自内心，来自人的探索精神，来自对知识和美的持之以恒的追求。这是一部清晰表现人的灵感和学术激情的著作。在作者简洁又富有感染力的叙述中，逐渐复杂化的最原始维恩图，依旧得到了巧妙的通俗化，并被一步一步赋予尘封已久的美。你会发现，原来生活中有如此多的巧妙维恩图，它在各国国旗上飘扬，在历史名画中憩息，在飞旋的网球上跳动。数学在生活中无所不在！面对那些优雅别致的对称多重图形，我们不仅仅得到视觉的享受，更会得到心灵的震撼。

 

回归简便，维恩图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系。当我们了解了维恩图后，就可以利用它解决有关集合问题了，这在高中、高考题中屡试不爽。其关键就是把集合之间的关系用维恩图直观地来表示，从而简化其中的代数陈述，帮助我们形象又简捷地解决问题。

 

维恩图的故事告诉我们，研究对象的地位和取得成就的大小相对于一个人的探索精神来说是次要的，因为每一个数学发现都是整座数学大厦的坚固基石；而只要你观察敏锐、兴致盎然，就能获取发现的喜悦。不要忽视我们身边默默无闻的事物，在兴趣的引导下，我们会发现数学中有如此多的奇珍异宝，俯拾皆是。

 

《科学时报》 (2009-2-5 B3 科学 文化)