随机微分方程在量子场论、控制系统、金融工程、投资决策等实际工程领域有着极其广泛的应用。但由于随机微分方程比常微分方程增加了相关的随机项，涉及概率论、泛函分析和偏微分方程等理论，其有效的数值求解显得异常复杂，同时需要相关理论的良好结合。统计系统和金融市场的演化过程可以通过建立随机模型得到良好的反映，但是有效数值求解这些随机模型一直备受研究人员的关注，目前尚没有较优的方法。

 

目前求解Fokker-Planck等方程的数值方法主要有Adomian分解方法、半离散Galerkin方法、变分迭代方法（VIM）等。但是，这些方法大多都是针对具有特定特征的微分方程进行数值求解。其中，变分迭代方法，由中国的何吉欢博士于1999年提出，已经被成功地用于求解许多线性和非线性问题，并取得了良好的数值效果。该方法不需要将非线性问题线性化，在减小计算量的同时，保持着解的高精确性，同时解具有快速收敛性，可以在有限步的迭代过程中获得问题的满意解，在数值计算方面具有明显的优势。

 

最近，来自约旦的Ameen Alawneh和Kamel Al-Khaled利用变分迭代方法，通过迭代计算收敛级数中的有限项，建立了Fokker-Planck方程和Black-Scholes方程等随机模型的近似解和解析解。该方法计算较简单，所获得的解收敛较快且具有较高的精度。数值试验表明，利用变分迭代方法能够有效数值求解非线性随机模型。

 

原文链接：http://www.sciencedirect.com/science/journal/08981221（常红旭/编译）

 

《科学新闻》 (2008年 12月 第1期 封面集锦)