在工程应用和实践中，热传导方程是非常重要的一类数学物理方程。工程中经常涉及求解热传导方程初边值问题。对于微尺度意义下的热传导介质，比如薄膜和纳米材料等，其热传导行为可以用一个三维的微尺度热传导方程来描述。另外，声子电子相互作用模型、单能量模型、声子辐射传播模型和绝缘层材料行为模型等，都可以归结为微尺度热传导方程的数值求解。因此，建立该类偏微分方程求解的有效且高效的数值格式，显得尤为重要。

 

有限差分方法是数值求解偏微分方程常用的有效数值方法。目前，许多有效的数值格式已经建立，比如显式格式、隐式格式、半隐式格式、迎风格式和Crank–Nicolson格式等。这些数值格式已经被广泛有效地应用于工程实践中。对于微尺度热传导方程，目前得到越来越多研究人员的广泛关注。针对一维的情形，部分研究人员已经利用现有的数值格式进行了有效数值求解，然而对于高维的情形，所开展的研究并不多。

 

最近，伊拉克Basrah大学的Harfash引入辅助函数，基于Crank–Nicolson格式，提出了紧凑有限差分格式，用于三维微尺度热传导方程的有效数值求解。这是一种新的空间上四阶收敛和时间上二阶收敛的有限差分数值格式，同时对不同的初值无条件稳定，并且得到了巧妙的证明。

 

针对精确解存在的情形，通过该格式的数值求解，并结合精确解计算绝对误差，数值算例表明，该算法在数值求解三维微尺度热传导方程时极其有效，能够获得较高的精度和收敛阶。

 

原文链接：http://www.sciencedirect.com/science/journal/03770427（常红旭/编译）

 

《科学新闻》 (2008年 9月 第2期 封面集锦)