对于A=UTV形如（其中U和V为归一化矩阵，T为上三角矩阵）的位移结构矩阵，设计其正交分解的有效算法，目前存在很多困难。然而，这类问题的求解对于最小二乘和基于秩的QR分解等问题是非常关键的。

 

该问题的求解可转化为计算一个相关的柯西型矩阵C（其中，数据点分布在复平面内的实轴或单位圆上）的正交分解。基于柯西型矩阵的Cholesky分解和QR分解等技巧，目前已设计出一些相对有效的算法，但存在计算精度差和正交性退化等问题。

 

设H为与柯西型矩阵C相关的拟可分解矩阵，对于C的QR分解C=QR，Q的每一行为r阶矩阵H对应的特征向量，通过求解形如H-αI_n的拟可分离线性方程可相应地得到的R每一列。因此，C的QR分解可通过求解H的逆特征值问题进一步得到。为求解逆特征值问题，可对C做出合理假设，利用H的一些简化形式，设计出基于发生器的算法，但缺乏数值稳定性。还可以通过求解H的QR分解迭代序列，设计基于QL的算法求解逆特征值问题，该算法具有较高的数值精度。从而，在此算法基础上可设计出柯西型矩阵C的快速QR分解算法。

 

原文链接：http://www.sciencedirect.com/science/journal/00243795 （常红旭/编译）