作者:王凤雨 来源:科学时报 发布时间:2010-2-5 9:34:40
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王凤雨:概率论与相关领域学科综述
 
2009年,中国学者在概率论与相关领域的研究上取得了丰硕成果,主要包括马氏过程与Dirichlet型理论、随机分析与几何、随机(偏)微分方程、随机网络与复杂系统、倒向随机方程与非线性期望理论、粒子系统与超过程理论、极限理论与大偏差、随机控制,以及概率论在遗传学、经济与金融、物理化学等其他领域与学科的应用。
 
下面着重介绍几个具有代表性的团队所取得的标志性成果。
 
山东大学彭实戈院士所领导的团队在倒向随机微分方程和非线性期望理论的研究方面取得一系列国际领先的原创性成果,于2009年获得国家自然科学基金委“创新研究群体科学基金”资助。随机微分方程已成为研究金融市场的重要理论工具,而由彭实戈和法国概率论学家Pardoux一起发展起来的倒向随机微分方程理论,在期权期货等金融衍生证券定价中有重要应用。通过研究倒向随机微分方程,引发了非线性期望的概念的产生和相关理论的建立。非线性期望是以金融市场的基本特征为基础而对传统的数学期望所进行的必要推广。它在继承数学期望的重要性质的同时,排除了对于线性的限制,从而具有更广泛的应用范围。由此产生以非线性期望为基础的许多新的研究方向,包括非线性期望下的极限理论、非线性鞅论、随机最优控制系统的最大值原理等,推动了随机控制理论、金融数学、随机分析等相关学科的发展,已形成国际概率论的重要前沿研究领域,引发国际上一批学者的跟踪研究。在应用研究方面第一次给出了划分风险和模糊的标准,该团队将诺贝尔经济学奖获得者Lucas的理性期望资产定价模型推广到非线性,解释了经济界著名的Ellsberg悖论。彭实戈院士由于其原创性的贡献,被邀请在2010年的国际数学家大会上作1小时的特邀报告,这体现了国际数学界对他所取得成就的充分肯定。国内从事该领域研究的还包括来自复旦大学、中科院应用数学研究所、中国矿业大学的中青年学者。关于概率论在金融中的应用,还包括以中科院应用数学所严加安院士为代表的学者使用鞅论研究金融市场的数学模型,还有其他一批学者使用极限理论、带时滞和马氏切换的随机微分方程研究金融产品的渐近行为等。
 
中科院应用数学所马志明院士所领导的团队,最近在随机图理论与随机网络、遗传学与量子力学中的概率方法等方面取得重要研究成果。该团队包括巩馥洲主持的一个“创新研究群体科学基金”项目的骨干成员。马志明因和德国同行一起发展马氏过程的拟正则Dirichlet型理论而成为国际著名概率论专家,该理论是构造马氏过程的主要工具之一。他目前所领导的“973”计划“数学与其他领域交叉的若干专题”项目组包括来自全国多所大学和研究所的一批研究骨干和青年学者,在数学的理论与应用的诸多领域的研究中获得一批国际领先的研究成果。这里仅提及一些与概率论有关的成果。“生命科学与网络技术中的随机方法”子课题组提出了预测microRNA的新方法,找到了与microRNA相关的1300个左右的有效特征;对microRNA和编码基因之间的相互关系进行了深入的分析,提出了microRNA靶基因预测的新方法,为双色网络的建立奠定了基础;在RNA扭结结构的计数方面,给出了K不相交的RNA结构的—子结构的数量分布和其分布函数的性质,并结合其他参数(如不相交数和最小堆数等)对分布函数进行分析;构建了描述RNA与RNA之间的相互作用的数学模型,实现了对两个已知的RNA序列之间的相互作用的预测;研究K不相交RNA扭结结构的随机生成问题,给出了全新的算法来解决以均匀的概率随机生成任意一个K不相交RNA结构,并且其主算法的复杂度是线性的,为解决随机生成任意组合结构的问题提供了新方法。在随机图研究方面,从理论上证明了一个关于第二极大分支的公开问题,从数学角度上给出了经过足够长的时间后,其极大分支和第二极大分支的分布及其变化情况。
 
北京师范大学陈木法院士所领导的概率论研究群体从2002年起已3次获得“创新研究群体科学基金”的资助。他们围绕带交互作用的无穷维随机系统,在新型Harnack不等式与应用、测度值过程的遍历性、排队论网络与反应扩散过程、马氏过程的稳定性、泛函不等式与应用等方向的研究中取得了系统深刻的成果,有些成果具有很强的原创性,受到国际同行的大量引用。在“马氏过程稳定性”的研究方面,该团队使用马氏过程的对偶方法,将他们在遍历情形获得的收敛速度的精细估计推广到非遍历情形,为马氏过程稳定性的研究开辟了新的有效途径。在“随机分析与几何”的研究方面,发展了耦合方法对较复杂的马氏半群建立与维数无关的Harnack不等式,并进一步应用到强Feller性、概率密度估计、各种超压缩性以及泛函不等式、传输不等式的研究,该方法与已有的分析与概率方法相比,具有极广的适用范围,包括以前无法处理的多种带可乘噪音和奇异系数的随机偏微分方程、一般Riemann流形上的椭圆形扩散等;对于曲率无下界的流形上的扩散过程获得对数Sobolev不等式的精确判别法则,澄清了Bakry-Emery曲率中Ricci曲率与Hess张量项的本质区别;获得带边流形上第二基本型的渐进公式,清晰地刻画了该几何量所确定的反射扩散过程的分析性质,引发了关于Neumann半群的一系列新成果,特别是证明了Bakry-Ememry准则在非凸情形完全失效,并就该情形给出对数Sobolev不等式合理的显式判别条件;对一类亚椭圆微分算子获得泛函不等式成立的显示判别条件,在流形的路径空间上构造了一大类带一般扩散系数的扩散过程,首次在跳过程的路径空间上建立了Poincaré不等式。在“粒子系统与测度值分支过程”的研究方面,证明了离散状态催化分枝过程的极限定理,在此模型和仿射金融模型之间建立了联系,给出了随机流产生的超过程的表示;证明了一般分枝机制的Dawson-Watanabe超过程某些分布的绝对连续性和超Levy过程的瞬时传播性质;在带跳的随机方程的Yamada-Watanabe判据、解的比较定理等问题的研究上取得了实质性进展;建立了几类测度值过程的极限定理(包括中心极限定理和大、中篇差原理)。
 
(作者系北师大数学科学学院长江学者特聘教授)
 
《科学时报》 (2010-2-5 A1 要闻)
 
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